Cómo calcular la integral de la $\int\frac{1}{\sqrt{(x^2+8)^3}}dx$?

Question

Necesito solucionar algo como esto $$\int\frac{1}{\sqrt{(x^2+8)^3}}dx$$

Wolfram alpha dice que la solución es $$\frac{x}{8\sqrt{x^2+8}} + c$$

El problema es que el integrando se obtiene por el cociente de la regla: $$\bigg(\frac{g(x)}{h(x)}\bigg)'=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$$ $$\bigg(\frac{x}{8\sqrt{x^2+8}}\bigg)'=\frac{1}{8}\cdot\frac{\sqrt{x^2+8}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+8}}}{x^2+8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{\frac{x^2+8-x^2}{\sqrt{x^2+8}}}{x^2+8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{\sqrt{(x^2+8)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(x^2+8)^3}}$$ Es allí una manera de extraer la solución de estos tipos de integrales que argumento es el que nace de la fácil cociente regla?

Answer 1

sustituto $$x=2\sqrt{2}\tan(u)$$, a continuación, obtenemos $$dx=2\sqrt{2}\sec^2(u)du$$

Answer 2

Es allí una manera de extraer la solución de estos tipos de integrales que argumento es el que nace de la fácil cociente regla?

Ninguno, que yo sepa. Usted acaba de ver o tal vez hacer una suerte de sustitución.

Alternativamente, usted puede echar un vistazo a Euler sustituciones, que funcionará en este caso y puede ayudar muy mucho de hecho a mano de las integrales de tareas.

Answer 3

No sé de ninguna fórmula general para el cociente de la regla.

Pero para que una integral de la forma $$\int \frac{dx}{\left(ax^n+b\right)^{k}}$$ Usted puede intentar las siguientes sustituciones:

1. Si $n=1$, poner $u=ax+b$. ($n=0$ es trivial.)
2. Si $n=2$, puesto $x=\left(\frac{b}{a}\right)^\frac{1}{n} tan u$.
3. Si $n\ge 3$, puesto $x=\left(\frac{b}{a}\right)^\frac{1}{n} u$ y, a continuación, factorise el polinomio en el denominador en lineales y cuadráticas términos y luego, después de usar el método de fracciones parciales para separar los términos, aplicar 1 y 2 anteriores.

Esto es sólo un procedimiento general, y puede no ser aplicable siempre. Algunos problemas se poseen soluciones obtenidas sólo por métodos especiales.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Como se mencionó en otra respuesta, la solución a la integral dada se puede encontrar haciendo una sustitución con una función trigonométrica, a continuación, la integración, el cálculo, la sustitución de la espalda y la simplificación.

Para una integral de la forma

$I =\displaystyle \int \frac{1}{\left(a x^n+b\right)^p} \, dx$ ,

la solución puede obtenerse con la ayuda de Mathematica en términos de una función especial:

$\displaystyle I = x \left(a x^n+b\right)^{-p} \left(\frac{a x^n}{b}+1\right)^p \, _2F_1\left(\frac{1}{n},p;1+\frac{1}{n};-\frac{a x^n}{b}\right)+C$,

donde $\, _2F_1(a,b;c;z)$ es la función hipergeométrica de Gauss.

La integral en esta pregunta es el caso especial donde

$a =1, b = 8, n = 2,p =3/2$

Una función puede ser definida con Mathematica:

solh[a_, b_, n_, 
   p_] = (x*(1 + (a*x^n)/b)^p*
     Hypergeometric2F1[1/n, p, 1 + 1/n, -((a*x^n)/b)])/
       (b + a*x^n)^p; 

Luego de tomar los valores especiales de la integral en esta pregunta:

FullSimplify[solh[1, 8, 2, 3/2]]

Puede comprobarse que la solución es

$\displaystyle \frac{x}{8\sqrt{x^2+8}} + constant$