Conjuntos abiertos en topología ordenada en $\mathbb{R\times R}$

Question

Tengo algunas dificultades para entender el concepto de topología ordenada en $\mathbb R \times\mathbb R $ . La definición que me dieron es que se trata de la topología donde $(a,b) < (c,d)$ si $a<c$ o $a= c$ y $b <d$ . ¿El conjunto $(0, 1)\times(0,1]$ ¿se abre en esta topología? ¿O cómo debería pensar en esto?

Leo este puesto y muchos otros, y todavía estoy confundido.

Answer 1

El conjunto $U:=(0,1)\times(0,1]$ es no abierto .

Prueba .

Cualquier vecindad del punto $\langle 1/2, 1\rangle\in U$ contiene algún punto $\langle 1/2,y\rangle$ con $y>1$ que, por tanto, no está en $U$ . Así que no todos los puntos de $U$ son puntos interiores y $U$ no se puede abrir.

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Puedes pensar en los conjuntos abiertos básicos $\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid (x_1,y_1)<(x,y)<(x_2,y_2)\}$ de su espacio como una generalización incontable de la siguiente constelación:

La región coloreada debe representar el conjunto "abierto". Tenga en cuenta que la primera coordenada es la dirección arriba-abajo, y la segunda la dirección izquierda-derecha (puede estar invertida en comparación con los gráficos matemáticos habituales). Estos conjuntos abiertos tienen (como máximo) dos "líneas" incompletas, la superior y la inferior. Todas las "líneas" intermedias están completamente llenas. La primera y la última línea tienen extremos abiertos, algo que no es representable en esta visualización discreta.

En este sentido, se ve que los conjuntos abiertos (que abarcan varias líneas) incluyen "líneas enteras". Los conjuntos abiertos básicos (que abarcan varias líneas) pueden descomponerse como sigue:

\begin {align} \{(x,y) \in\Bbb R^2 \mid &(x_1,y_1)<(x,y)<(x_2,y_2)\} \\ [0.5em]&= \color {rojo}{ \underbrace {\{x_1\} \times (y_1, \infty )}_{ \text {superior media línea} } \;\; \cup \color {Azul}{ \underbrace {(x_1,x_2) \times \Bbb R}_{ \text {líneas enteras en el medio}} \cup\ ;\; \color {Verde}{ \underbrace { \{x_2\} \times (- \infty , y_2)}_{ \text {{Media línea inferior}} \end {align}

como se destaca en la siguiente visualización discreta:

Answer 2

La topología que has descrito se llama orden del diccionario topología en $\mathbb R \times\mathbb R$ .

Supongamos que eres un bibliotecario, cualquiera que sea el libro que tengas en la mano con el código interno de la biblioteca $C3$ y $E2$ .

Ahora bien, lo que primero se hace es que se comparan los alfabetos de los códigos de biblioteca de los libros, es decir, se determina si $C <, >, = E$ en el sentido natural. En este caso, ya que $C < E$ En una estantería que empieza por la izquierda y va hacia la derecha, se pone el primer libro, con el código $C3$ a la izquierda del segundo libro, con el código $E2$ en ese estante.

Ahora, considera los libros $D4$ y $D2$ Para determinar el orden del libro en la estantería, si comparas los alfabetos, son iguales, entonces lo que haces es comprobar los números, ya que $4 > 2$ el primer libro, con el código $D4$ , debe estar a la derecha del segundo libro, con el código $D2$ , en la estantería.

Ahora, llegando a su pregunta, en la topología de orden del diccionario $\mathbb R \times\mathbb R$ se hace lo mismo, dados dos elementos $(a,b)$ y $(c,d)$ se comparan primero las primeras entradas, o digamos componentes, de los elementos, es decir, se comprueba si $a <, >, = c$ en el sentido habitual, y si $a = c$ , se comprueba el segundo componente de los elementos, y se determina qué elemento es "menor" que otro elemento.

Ahora, de esta manera, se ordenan todos los elementos de $\mathbb R \times\mathbb R$ y en una topología de orden, los conjuntos abiertos de esa topología son los intervalos, es decir (e,f), donde $e,f \in \mathbb R \times\mathbb R$ .

En particular, en su ejemplo, el conjunto $$(0, 1)\times(0,1] = \{(x,y) \in \mathbb R \times\mathbb R| 0 <x<1, 0<y \leq 1 \} \\ = \cup_{x \in (0,1)} \{(x,y) | 0 < y <1\} \cup_{x \in (0,1)} \{(x,1)\}$$

y como el conjunto que contiene sólo los puntos de la forma $(x,1)$ donde $x \in (0,1)$ no es abierto, su unión con algún conjunto abierto no es abierta.