Cómo encontrar un ejemplo de función $f:3\mathbb{N}+1\to 4\mathbb{N}+1$

Question

Cómo encontrar un bijective función de $f: 3\mathbb{N}+1\to 4\mathbb{N}+1$ tal que $$f(xy)=f(x)f(y),\forall x,y\in 3N+1$$

Si dejo $x,y\in 3\mathbb{N}+1$ existe $n,m\in \mathbb{N}$ tal que $x=3n+1,y=3m+1$

pero no tengo idea de cómo puedo encontrar a un tal $f$, hay un método, por favor ?

Answer 1

Nota: $P_{a,b}$ el conjunto de los números primos congruentes a $a$ mod $b$.

Ya que todos los conjuntos son countably infinito, tiene bijections $f_1 : P_{1,4} \to P_{1,3}$$f_2 : P_{3,4} \to P_{2,3}$.

La libre conmutativa monoid generado por $P_{1,4} \cup P_{3,4}$ es el conjunto de los números impares, y la generada por $P_{1,3} \cup P_{2,3}$ es el conjunto de números enteros coprime con $3$, por lo que aquellos bijections inducir un monoid isomorfismo $f$ a partir del conjunto de enteros impares para el conjunto de los números coprime con $3$.

Entonces la restricción de $f$ $1+4\Bbb N$da un monoid isomorfismo a $1+3\Bbb N$.
(un número en $1+4\Bbb N$ cuando se tiene un número par de números primos de $P_{3,4}$ (contadas con multiplicidad), y asimismo un número en $1+3\Bbb N$ si tiene un número par de números primos de la forma $P_{2,3}$).

Algo así como que se debe trabajar entre el $1+a\Bbb N$ $1+b\Bbb N$ siempre que los grupos de $(\Bbb Z/a\Bbb Z)^*$ $(\Bbb Z/b\Bbb Z)^*$ son isomorfos

Answer 2

Creo que un enfoque constructivo como podría funcionar esto:

Primer vistazo a los enteros de la forma $3k+1$: son $1,4,7,10,13,16, 19, 22, 25, 28, \dots$. Factor de cada uno de estos, en la medida de lo posible, en los elementos más pequeños de $3\mathbb Z+1$. Por lo $1=1,4=4,7=7,10=10,13=13,16=4^2, 19=19, 22=22, 25=25, 28=4\cdot7, \dots$. Enumerar el "prime-ish" los elementos de la $3\mathbb Z+1$ - los que no factor en elementos más pequeños: $a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13, a_6=19, \dots$.

Hacer la misma cosa para $4\mathbb Z+1$: $b_1=1, b_2=5, b_3=9,\dots$.

Deje $f(a_i)=b_i$ y ampliar la definición de $f$ a todos los de $3\mathbb Z+1$ al exigir $f$ a ser multiplicativa.

No he pensado si no puede ser no único factorizations en el "prime-ish" los números, así que todavía hay detalles para obra o espectáculo.