Encontrar el límite de una secuencia de integrales

Question

Definamos una secuencia de funciones como $$f_n(x)=\frac{2nx^{n-1}}{x+1}\;\;\text{for each $ x \in [0,1] $ and for all $ n \in\mathbb {N} $}$$ ¿Qué es? $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_ n(x) dx$ ?

¿Cómo encontrar el límite? Si puedo intercambiar el límite con la integral el ans es seguramente $0$ . Pero podemos intercambiar aquí el límite con la integral. Lo único que conozco es el teorema de convergencia monótona de Lebesgue y el teorema de convergencia dominada que nos permiten intercambiar límite e integrales. Pero esto parece no ser útil aquí. Entonces, ¿cómo proceder? Cualquier ayuda se agradecería. Gracias de antemano.

Answer 1

Pensé que sería instructivo presentar un enfoque que se basa en la integración por partes y en las herramientas de cálculo de primer año. Para ello, procedemos a continuación.

---

Dejemos que $I_n$ sea la secuencia dada por

$$I_n=\int_0^1 \frac{2nx^{n-1}}{1+x}\,dx\tag 1$$

Integrando por partes la integral del lado derecho de $(1)$ con $u=\frac1{1+x}$ y $v=2x^n$ revela

$$I_n=1+\int_0^1 \frac{2x^n}{(1+x)^2}\,dx\tag2$$

Es fácil ver que la integral del lado derecho de $(2)$ se acerca a $0$ como $n\to\infty$ (está acotado por debajo de $\frac1{2(n+1)}$ y delimitado por encima por $\frac2{n+1}$ ) de lo que se deduce que

$$\lim_{n\to\infty}I_n=1$$

Answer 2

Sugerencia. Tenga en cuenta que para $x\in [0,1]$ , $$g_n(x):=nx^{n-1}\leq f_n(x)$$ y por lo tanto $$1=\int_0^1 g_n(x) dx \leq \int_0^1 f_ n(x) dx.$$ En cuanto a la otra parte, $f_n(x)$ está aumentando en $[0,1]$ para $n\ge 3$ y para $a\in (0,1)$ , $$f_n(x)\leq h_n(x):=\frac{2na^{n-1}}{a+1}\chi_{[0,a]}(x)+\frac{2nx^{n-1}}{a+1}\chi_{(a,1]}(x).$$ Por lo tanto, $$\int_0^1 f_ n(x) dx\leq \int_0^1 h_ n(x) dx=\frac{2na^{n}}{a+1}+\frac{2(1-a^n)}{a+1}.$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

El límite es 1. Para el lado opuesto, utilice $$ \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx-1 = \int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+x}nx^{n-1}dx \leq \int_{0}^{1} (1-x)nx^{n-1}dx = \frac{1}{n+1}\to 0 $$