Un conjunto finito es un conjunto tal que existe una biyección de él a algunos ordinales finitos. Un conjunto infinito es un conjunto que no es finito.
¿En ZF, puede demostrar que todo conjunto infinito es la Unión de dos disjuntos conjunto infinito? ¿Si no, es esta propiedad equivalente a todo lo conocido sobre ZF?
Parece que no puedo probar esto sin asumir algún tipo de elección. Gracias por cualquier ayuda que puede proporcionar.
Sí. Usted necesita alguna opción. La afirmación "Todo conjunto infinito tiene una contables subconjunto" es más que suficiente, y podemos usar incluso menos (aunque la gente suele ir con más y asumir el axioma de contables de elección).
Un conjunto se llama Dedekind infinito cuando se tiene un subconjunto con la misma cardinalidad. Que es $A$ es Dedekind infinito cuando hay algo de $B\subsetneq A$ tal que $|A|=|B|$. En ZFC cada conjunto infinito es Dedekind infinito.
Un conjunto que es infinito, pero no Dedekind infinito, se llama infinito Dedekind finito conjunto (comúnmente abreviado iDf o Dedekind finito). Que es $A$ es de las fdi si para cada a $B\subsetneq A$ tenemos $|B|<|A|$. Esto no significa que usted no puede dividir una de las fdi en dos conjuntos infinitos.
Por ejemplo, tomar dos disjuntas de las fdi conjuntos de $A,B$ $A\cup B$ es también de las fdi, pero se puede dividir en $A$$B$.
Clasificación importante de Dedekind conjuntos infinitos es como sigue: $$A\text{ is Dedekind infinite}\iff\aleph_0\le|A|$$ Nosotros no requerimos que $A$ será bien disponible, pero requerimos que tendrá una contables subconjunto. En particular, muestra cómo suponiendo que el anterior nos da que cada conjunto infinito puede ser dividido en dos infinitos subconjuntos.
Esto todavía no es suficiente para probar que para cada infinitas $A$ hay $B,C\subseteq A$ tal que $|A|=|B|=|C|$$B\cap C=\emptyset$. Sin embargo se comprobó que el axioma de elección ¿ no se sigue de la siguiente hecho:
Para cada infinita cardenal $\mathfrak p$ tenemos: $\mathfrak p = \mathfrak p+\mathfrak p$. (No estoy familiarizado con la prueba, anunciado por Sageev en 1973 y publicado un par de años más tarde).
Esto significa que usted puede tener que cada cardenal se puede dividir en dos equinumerous partes sin el axioma de elección.
Por último, $A$ se llama amorfo si $A$ no se puede dividir en dos infinitos subconjuntos. Es decir, $B\subseteq A$ entonces $B$ finito o $A\setminus B$ finito. Esta es una fuerte noción de que de infinito Dedekind finito. Esto es debido al hecho de que puede ser posible lineal del orden de un infinito Dedekind conjunto finito, mientras que es imposible lineal del orden de un conjunto amorfo.
La prueba de este hecho es la siguiente: Supongamos $<$ es lineal en el orden de $A$, tomar la corte en$a\in A$$\langle a\!\!\mid =\{b\in A\mid b<a\}$. Claramente $a\mapsto\langle a\!\!\mid$ es un bijection entre el $A$ y el conjunto de los recortes en la $<$, por lo tanto, el conjunto de recortes también es amorfo. Ya que cada corte es un subconjunto de a $A$ es finito o co-finito, y cada conjunto de recortes es finito o co-finito (con respecto al conjunto de todos los cortes).
Si sólo una cantidad finita de los recortes son finitos, entonces sólo un número finito de cortes son co-finito, lo cual es una contradicción con el hecho de que hay infinitamente muchos cortes y cada uno es un subconjunto de a $A$. El mismo argumento muestra que no puede ser sólo un número finito infinito cortes.
Cohen en la primera modelo que muestra que ZF es consistente con la negación de la AC fue dado por la adición de una de las fdi conjunto de reales, lo cual puede ser linealmente ordenado (pero no bien ordenado). En particular, en este modelo cada conjunto linealmente ordenado (por un poco más detallada de la encuesta, véase mi respuesta aquí).
Una nota sobre la consistencia de la fuerza:
A partir de la suposición de que ZF es consistente usted tiene que ZFC es consistente, y forzando a que usted tiene que "ZF+No es una de las fdi set+Cada conjunto si linealmente disponible" es consistente, y por otro, obligando tienen que "ZF+Amorfa" es consistente. Los dos últimos claramente demostrando la consistencia de ZF (si es que realmente son consistentes).
Sin embargo, si medimos la consistencia por lo mucho que nos contradice el axioma de elección... bueno, en este caso sólo como "axioma de contables elección" es más fuerte que "Todo conjunto infinito es Dedekind infinito" (es decir, la anterior afirmación demuestra el último sobre ZF), tenemos que:
"Existe un conjunto amorfo" demuestra "la existencia de una de las fdi conjunto", mientras que lo contrario no es cierto, como lo demuestra la consistencia de "ZF+existe fdi set+Cada conjunto linealmente ordenado", ya que la última afirmación es inconsistente con amorfo conjuntos, pero siendo coherente con las fdi conjuntos.
Y por su definición de la iDf conjunto que no es amorfo puede ser escrito como la desunión de la unión de dos conjuntos infinitos. Por lo tanto, suponiendo que existe una fdi conjunto, pero no hay amorfo conjuntos es suficiente para asegurar que todo conjunto infinito se divide en dos conjuntos infinitos. Sea o no esto implica otras formas de elección (elección múltiple, finito elección, la elección de los pares, la elección de bien hacer pedidos conjuntos, la elección de un bien disponible la colección de conjuntos ordenados, etc, etc.), No sé la respuesta para eso. Yo estaría feliz de ver a esta pregunta, pero esto puede tardar un par de días debido a compromisos anteriores que tengo.
Por último, dos artículos que pueden ser interesantes para este tema de la conversación:
J. K. Truss, Clases de Dedekind Finito Cardenales, Fundamenta Mathematicae 84, 187-208, 1974.
En el que siete de las nociones de Dedekind finito cardenales (cinco en adición a lo finito de conjuntos y el mencionado en mi respuesta, que es la "canónica" tipo de infinito Dedekind finito cardenales). El papel no es muy técnica (creo) y creo que uno puede entender la mayoría de los resultados dados sin un profundo fondo en forzar o permutación de los modelos.
J. K. Racimo, La estructura de amorfo conjuntos, Anales de la Pura y Aplicada de la Lógica, 73 (1995), 191-233.
Este artículo trata amorfo, es más largo y más difícil que el anterior.
(Tuve que cavar muy profundo en el internet para encontrar estos en línea, y no puedo recordar donde había encontrado a ambos documentos. Muchas, muchas, muchas gracias a Theo para encontrar los enlaces.)
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