Convergencia en la distribución de sumas de variables aleatorias

Question

Supongamos que tengo $X_1,X_2,...,X_n$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, de cualquier distribución. Supongamos que $E(X_i)=\mu$ y $V(X_i)=\sigma^2$ .

Supongamos que defino la siguiente variable aleatoria:

$$Y=\sum_{i=1}^nX_i$$

¿Cuál es la distribución límite de $Y$ ? Es decir, como $n$ va al infinito, ¿qué distribución puede $Y$ ¿se aproxima por?

Mi intuición me dice que $Y\rightarrow N(n\mu,n\sigma^2)$ . En otras palabras, digamos $200$ era un número suficientemente grande para $n$ . Entonces podría aproximar $Y$ por una distribución normal con media $200\mu$ y la varianza $200\sigma^2$ . ¿Es esto cierto, y si es así, cómo se puede demostrar? Si no es así, ¿cuál es la distribución límite de $Y$ ?

Answer 1

Cualquier declaración que diga $\lim_{n\to\infty}(\cdots\cdots) = (\text{something depending on $ n $})$ es errónea si se toma literalmente, y normalmente es errónea si se toma de cualquier otra manera.

La distribución $N(n\mu,n\sigma^2)$ depende de $n$ y no se acerca a un límite como $n$ crece.

Sin embargo, la distribución de $$ \frac{Y-n\mu}{\sigma\sqrt n} \tag 1 $$ se acerca a un límite a medida que $n$ crece (a menos que $\sigma=+\infty,$ como ocurre en algunos casos). Ese límite es $N(0,1).$

Esto puede entenderse como que el c.d.f. de $(1)$ converge puntualmente a la f.d.c. de $N(0,1).$ Si el límite fuera una distribución que concentra probabilidad positiva en algunos puntos, se entendería que la f.d.c. converge puntualmente excepto en los puntos en los que la distribución límite asigna una probabilidad positiva.

Answer 2

El resultado (modificado, en el sentido que verás) que buscas se deriva directamente de una clase de resultados de convergencia llamados teoremas centrales del límite (de la teoría de la probabilidad). Hay varias versiones de los teoremas del límite central, según varíen las condiciones de dependencia y de heterogeneidad de la distribución. En el presente caso de su interés, nos ocupamos del prototipo de teorema del límite central, que trata de una secuencia de sumas de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas. Demostrarlo requiere muchos prerrequisitos a los que sospecho que aún no has estado expuesto; así que permíteme presentar la idea de una demostración típica. El esquema típico de demostración consiste en utilizar el hecho de que la convergencia débil de las funciones de distribución es la convergencia puntual de las funciones características correspondientes. Entonces se puede demostrar, utilizando el supuesto de independencia y una expansión de Taylor de segundo orden, que la secuencia de sumas estandarizadas de variables aleatorias converge en la distribución a una variable aleatoria normal estándar. Resulta que la convergencia débil de las funciones de distribución de las sumas estandarizadas de variables aleatorias a la función de distribución normal estándar es también uniforme (incluso en el caso de que las variables aleatorias implicadas sean independientes pero no indenticas, siempre que se cumpla la llamada condición de Lindeberg). Así que, de hecho, si $F_{Y_{n}}$ es la función de distribución de $Y_{n} := \sum_{1}^{n}X_{i}$ y si $\Phi$ es la de una variable aleatoria normal estándar, entonces tenemos $F_{Y_{n}}(y) - \Phi\big(\frac{y - n\mu}{n\sigma^{2}}) \to 0$ como $n \to \infty$ para todos $y$ . Entonces, precisamente, decimos que $Y_{n}$ se distribuye asintóticamente como $N(n\mu, n\sigma^{2})$ . Supongo que esto es lo que busca.

En resumen: decimos que $(Y_{n}-EY_{n})/\sqrt{\text{var}(Y_{n})}$ converge en su distribución a $N(0,1)$ o que $N(0,1)$ es la distribución límite de la secuencia de la normalizada $Y_{n}$ pero que $Y_{n} \sim_{A} N(EY_{n}, \text{var}(Y_{n})$ ), leyendo $Y_{n}$ se distribuye asintóticamente de forma normal con una media $EY_{n}$ y la varianza $\text{var}Y_{n}$ .