Es una función periódica de $f(x) = \cos (x) +\cos(x^2)$

Question

Esta que le di a mis alumnos hoy en día, nadie resolverlo.

Es un siguiente función periódica $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $$f(x) = \cos (x) +\cos(x^2)$$

Si alguien está interesado me puede mostrar una solución más adelante.

Answer 1

Sin el uso de la derivada de la ecuación, $f(x) = f(0)$ tiene una única solución. De hecho, si $\cos(x)+\cos(x^2)=2$$\cos(x) = 1 = \cos(x^2)$, por lo que no existe $p,q \in \mathbb{Z}$ tal que $x = 2p \pi$$x^2 = 2q \pi$, lo $\pi = \frac{q}{2 p^2}$. Pero $\pi$ no es racional ; absurdo.

Esto puede ser una exageración, pero, al menos, el mismo razonamiento se puede demostrar la siguiente : dado cualquier $\beta$-función periódica $g$ $\beta \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ que $g(x) \neq g(0)$$x \in ]0,\beta[$, la función de $x \mapsto g(x)+g(x^2)$ no es periódica.

Answer 2

Si $f(x)=\cos x+\cos(x^{2})$ es periódica, entonces también lo es $f'(x) = -\sin x -2x\sin (x^{2})$, lo cual es imposible ya que $f'(x)$ es no acotada. (Para $x_{n} = \sqrt{(2n+1/2)\pi}$ ($n>0$), tenemos $f'(x_{n})=-\sin x_{n}-2x_{n}\leq 1-2\sqrt{2n\pi}$, lo que tiende a $-\infty$$n\to \infty$.)