En el cúbicos de generalización $(a^3+b^3+c^3+d^3)(e^3+f^3+g^3+h^3 ) = v_1^3+v_2^3+v_3^3+v_4^3$ para el de Euler de cuatro cuadrados

Question

Estamos familiarizados con la de Euler de Cuatro Cuadrados de identidad,

$$(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2 ) = u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$$

donde,

$$u_1 = ae-bf-cg-dh\\ u_2 = af+ser+ch-dg\\ u_3 = ag-bh+ce+df\\ u_4 = ah+bg-cf+de$$

o el producto de dos sumas de cuatro cuadrados es de por sí una suma de cuatro cuadrados.

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Trasteando, me llegó a través de un cúbicos versión,

$$(a^3+b^3+c^3+d^3)(e^3+f^3+g^3+h^3 ) = 6^{-3} (w_1^3+w_2^3+w_3^3+w_4^3)$$

donde,

$$w_1= 9 + a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + b^3 + b^3 + g^3 + h^3\\ w_2= -9 - a^3 - b^3 - c^3 - d^3 + b^3 + b^3 + g^3 + h^3\\ w_3= 9 - a^3 - b^3 - c^3 - d^3 - e^3 - f^3 - g^3 - h^3\\ w_4= -9 + a^3 + b^3 + c^3 + d^3 - e^3 - f^3 - g^3 - h^3$$

P: ¿el cúbicos versión tener cualquier número teórico de implicaciones, como el conjunto de las sumas de cuatro cubos es cerrado bajo la multiplicación? O es sólo una curiosidad interesante?

Answer 1

Resumiendo algunos comentarios y añadiendo un poco en la parte superior:

La identidad es un caso especial de $$24ABC = (\underbrace{A+B+C}_{w_1})^3 + (\underbrace{-A+B-C}_{w_2})^3 + (\underbrace{-A-B+C}_{w_3})^3 + (\underbrace{A-B-C}_{w_4})^3 \etiqueta{1}$$ donde la puesta en $C=9$ giros a la izquierda en $6^3AB$. La configuración de $$\begin{align} A &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \\ B &= e^3 + f^3 + g^3 + h^3 \end{align}$$ no son necesarios para $(1)$, pero con una interesante especialización.

Para hacer el lado derecho de la $(1)$ un simbólico múltiplo entero de $6^3$, debemos exigir que cada una de las $w_i$ es divisible por $6$. Sencillo cálculos muestran que esto ocurre si y sólo si ambas $A$ y $B$ son divisibles por $3$ $A+B$ es impar. En otras palabras, $$\{A,B\}=\{6m,6n+3\}\quad\text{for some}\quad m,n\in\mathbb{Z}$$

Por el contrario, para cada elección de $m,n\in\mathbb{Z}$ existen representaciones de $A$ $B$ como sumas de cuatro cubos, tales como $$\begin{align} 6m &= (m+1)^3 + (m-1)^3 + (-m)^3 + (-m)^3 \tag{2} \\ 6n+3 &= n^3 + (-n + 4)^3 + (2n - 5)^3 + (-2n + 4)^3 \tag{3} \end{align}$$ tomado de la Alpertron hipervínculos en Dietrich Burde del comentario.

Se especializa su identidad a ese escenario le da $$18\,m\,(2n+1) = (2 + m + n)^3 + (-1 - m + n)^3 + (1 - m - n)^3 + (-2 + m - n)^3 \etiqueta{4}$$ que puede dar mucho más pequeños de soluciones para las representaciones de $18q$$(2)$, especialmente si $q$ tiene un divisor impar cerca de $\sqrt{2|q|}$ que podemos utilizar para $2n+1$.

Ejemplos: $$\begin{array}{r|rr|rrr} 18q & (2)\quad\text{with} & m & (4)\quad\text{with} & m, & n \\\hline 18 & 4^3 + 2^3 + (-3)^3 + (-3)^3 & 3 & 3^3 + (-2)^3 + 0^3 + (-1)^3 & 1 & 0 \\ 504 & 85^3 + 83^3 + (-84)^3 + (-84)^3 & 84 & 9^3 + (-2)^3 + (-6)^3 + (-1)^3 & 4 & 3 \end{array}$$ Los siguientes puntos pueden ser vale la pena mencionar:

• La sustitución de $2$ $0$ en el lado derecho de la $(4)$ giros a la izquierda lado en $6\,m\,(2n-1)$, lo que es más ampliamente aplicable.
• La sustitución de $2$ $1$ en el lado derecho de la $(4)$ giros a la izquierda lado en $24mn$, fácil de especialización de $(1)$.
• $(1)$ sí, cuando sea aplicable, podría dar soluciones incluso con los más pequeños de máximo absoluto de los números involucrados, especialmente si $A,B,C$ puede ser elegido para ser pares cercanos.