$I(P, C \cap D)=1$ fib $P$ es nonsingular en tanto $C$ $D$ y la de la tangente a las líneas de a $C$ $D$ $P$ son distintos.

Question

Mientras que la lectura de Milne curva elíptica libro, estoy atascado en un punto más que si $I(P, C \cap D)=1$ fib $P$ es nonsingular en tanto $C$ $D$ y la de la tangente a las líneas de a $C$ $D$ $P$ son distintos. Aquí $C,D$ representa las curvas correspondientes a los polinomios decir $f,g \in k[X,Y]$.

Ahora vamos a tratar el $\Leftarrow$ parte,

WLOG tomamos $P=(0,0)$ Ahora podemos escribir $f=f_1+...+f_r$ & $g=g_1+...+g_m$ donde $f_i,g_i$'s son homogéneos polinomio en $X,Y$ grado $i$. Ahora $P$ es nonsingular que implica $f_1(P)g_1(P) \neq 0$ $f_1=aX+bY$ $g_1=cX+dY$ son distintos, por lo $I(P, C \cap D)=I(f,g)$. Ahora es $=I(f_1,g_1)?$ si es así, entonces $I(aX+bY,cX+dY)=1$ $(0,0)$ es en la intersección.

Por el contrario, $\Rightarrow$ parte no estoy recibiendo, así.

Por favor, ayudar.

Por otra parte, por favor no utilice el resultado general como $I(p, C\cap D) \geq m_p(C)m_P(D)$.

Answer 1

Vamos a intentar darle un intento a tu pregunta

$\Leftarrow$ parte

Deje $f$ $g$ son dos fuction donde $f_1$ $g_1$ no son de fuga. Ahora resultante $\exists a(X,Y),b(X,Y)$ s.t $af+bg=r \in k[X]$ y $deg_Y(b)<deg_Y(f)$, $deg_Y(a)<deg_Y(g)$.

Si $deg_Y(f)<deg_Y(g)$, escribir

$I(f,g)=I(f,bg)-I(f,b)=I(f,r)-I(f,b)$

Ahora se considerar $deg_Y(b)<deg_Y(f)$ a continuación, $I(f,g)=I(f,bg)-I(f,b)=I(f,r)-I(f,b)=I(f,r)-I(af,b)+I(a,b)=I(f,r)-I(r-bg,b)+I(a,b)=I(f,r)-I(r,b)+I(a,b)$

Luego, por la resultante de la teoría de $\exists a_1(X,Y),b_1(X,Y)$ s.t $a_1a+b_1b=r_1\in k[X]$ s.t $deg_Y(b_1)<deg_Y(a)$ $deg_Y(a_1)<deg_Y(b)$

Si $deg_Y(a)<deg_Y(b)$ $I(a,b)=I(a,r_1)-I(r_1,b)+I(a_1,b_1)$

a continuación, $I(f,g)=I(f,r)-I(r,b)+I(a,b)=I(f,r)-I(r,b)+I(a,r_1)-I(r_1,b)+I(a_1,b_1)$

Ahora como el $f_1$ $g_1$ son distintos de cero y distintos llegamos $I(f,r)=I(r,b)=I(a,r_1)=I(r_1,b)=...=0$

Continuar de esta manera hasta que $Y$ será eliminado a partir de una función, digamos, de $g$. A continuación, $g(X)=Xg_0(X)$ s.t $g_0(0) \neq 0$ [como el $f_1$ $g_1$ son distintos de cero y distinct],

por lo $I(f,g)=I(f,X)$ y después de restar un múltiplo de $X$ $f(X,Y)$ podemos asumir que es un polinomio en a $Y$ solo [como el $f_1$ $g_1$ son distintos de cero y distinct],

escribir $f(Y)=Yf_0(Y)$ donde $f_0(0) \neq 0$. A continuación, $I(f,g)=I(f,X)=I(Y,X)=1$

$\Rightarrow$ parte

Por el contrario, $I(f,g)=\dim_k k[X,Y]_{(0,0)}/<f,g>=1=\dim_k k[X,Y]_{(0,0)}/<X,Y>$, $<f,g>=<X,Y>$ por lo tanto $P$ es nosingular en tanto $C$ $D$ y la tangente líneas en $P(0,0)$ son distintos.

Por favor, compruebe si he cometido algún error o no.