Deje $F(X,Y,Z)=5X^2+3Y^2+8Z^2+6(YZ+ZX+XY)$. Encontrar $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ no todos los divisible por $13$, de tal manera que $F(a,b,c)\equiv 0 \pmod{13^2}$.

Question

Deje $F(X,Y,Z)=5X^2+3Y^2+8Z^2+6(YZ+ZX+XY)$. Encontrar $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ no todos los divisible por $13$, de tal manera que $F(a,b,c)\equiv 0 \pmod{13^2}$.

Aunque parece una tarea problema es que no. Es un ejercicio de Milne curvas Elípticas libro y estoy tratando de leer ese libro por mi cuenta. Si alguien me pudiera ayudar, mi concepción sería poco mejor. Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, una solución:

$x=3$, $y=49$, $z=1$ dan: \begin{align} &5x^2+3y^2+8z^2+6(xy+yz+zx)\\ \mapsto&45+7203+1+6(147+49+3)\\ =&8450\\ =&50\cdot13^2 \end{align}

Ahora, el método:

Es una sección cónica, y si usted piensa que $13$-adically, no tiene puntos en $\Bbb Q_{13}$ (o lo que es lo mismo aquí, más de $\Bbb Z_{13}$) o tiene un número infinito. Así que, como @tjf sagely sugerido, si usted puede encontrar una solución que sea buena modulo $13$, usted debería ser capaz de encontrar un modulo $13^2$. Confieso que no me molesta la comprobación en este punto que la cosa es nonsingular, es decir, no es ni un par de líneas de intersección ni una sola línea de multiplicidad dos.

Me fui por delante y dehomogenized, establecimiento $z=1$, para obtener $$ 5x^2+6xy+3y^2+6(x+y)=-8\,. $$ Desde el discriminante de $5x^2+6xy+3y^2$ $9-15\equiv7$ $7$ no es un cuadrado modulo $13$, no hay ningún punto en la línea en el infinito. Drat, es una elipse. Traté de encontrar las intersecciones con $x=0$, $y=0$, y $x=y$, pero ninguna de estas tres líneas parece cruzan más de $\Bbb F_{13}$. Drat de nuevo. Pero luego probé con el de la línea de $x=-y$, y tiene un punto de $(3,-3)$ en lo finito $\Bbb F_{13}$-plano, es decir,$x\equiv3$, $y\equiv10$, $z\equiv1$ como puntos de la homogeneidad de la curva de modulo $13$. A partir de ahí fue una primaria Henselation para refinar una congruencia modulo $169$.

Answer 2

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - \frac{ 3 }{ 5 } & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) $$

O $$\left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & - 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 125 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & 0 & 125 \\ \end{array} \right) $$

Si conseguimos $25 u^2 + 6 v^2 + 25 w^2 \equiv 0 \pmod {13^2}$ tenemos una transformación lineal que lleva a que el vector a uno que es nulo para el original de la forma cuadrática. Ya que no es una terna Pitagórica (5,12,13) o $5^2 + 12 ^2 = 13 ^2,$ hacemos uso de la coincidencia de los coeficientes de 25 y tome $u=5,v=0,w=12.$

$$ \left( \begin{array}{rrr} 5 & - 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} 5 \\ 0 \\ 12 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 25 \\ -60 \\ 60 \\ \end{array} \right) $$ Dividir el último vector por $5$ para obtener $$ \left( \begin{array}{r} 5 \\ -12 \\ 12 \\ \end{array} \right) $$ Con $$ x = 5 , y = -12, z = 12, $$

$$ 5 x^2 + 3 y^2 + 8 z^2 + 6 (yz + z x + x y) = 845 = 5 \cdot 13^2 $$

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$$ E_j^T D_{j-1} E_j = D_j $$ $$ P_{j-1} E_j = P_j $$ $$ E_j^{-1} Q_{j-1} = Q_j $$ $$ P_j Q_j = I $$ $$ P_j^T H P_j = D_j $$ $$ Q_j^T D_j Q_j = H $$

$$ H = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) $$

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$$ E_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{1} = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & \frac{ 6 }{ 5 } \\ 3 & \frac{ 6 }{ 5 } & 8 \\ \end{array} \right) $$

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$$ E_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & - \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & - \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 3 }{ 5 } & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{2} = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & \frac{ 6 }{ 5 } \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & \frac{ 31 }{ 5 } \\ \end{array} \right) $$

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$$ E_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ $$ P_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 3 }{ 5 } & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{3} = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) $$

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$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ - \frac{ 3 }{ 5 } & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & - \frac{ 3 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 5 } & 1 & 0 \\ \frac{ 3 }{ 5 } & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 6 }{ 5 } & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & \frac{ 3 }{ 5 } & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) $$