La respuesta a estas preguntas es sí, en un sentido fuerte. Existen recursiva enumeraciones de los números algebraicos y algebraica de los números enteros, que son únicas de hasta un recursiva isomorfismo (por lo tanto, la respuesta a las preguntas que aquí no dependen de la presentación elegida). A continuación, el máximo ideal descrito en la pregunta es recursiva, y de manera similar, se pueden construir recursiva automorfismos de extender cualquier homormorphism de un número finito de extensión algebraica de $\mathbb{Q}$ en su algebraica de cierre. E. g., el isomorfismo de $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ de los que tomaron $\sqrt2$ $-\sqrt2$se extiende a un recursiva isomorfismo de la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$ que es necesariamente ni la identidad ni el complejo de la conjugación.
Primero, un poco de notación (que he aprendido de mí mismo). Una forma recursiva presentated campo es un conjunto recursivo conjunto de operaciones de campo $+$, $\cdot$ los cuales son definidos por las funciones recursivas. Claramente $\mathbb{Q}$ es de forma recursiva presentable. Rabin1 mostró en 1960 que cada recursivamente presentado campo tiene una forma recursiva presentado algebraica de cierre. Metakides & Nerode2 mostraron que la singularidad de la algebraicas cierre (hasta recursiva isomorphisms) es equivalente a la existencia de un algoritmo de la división (es decir, para decidir si un polinomio es reducible o no) sobre el campo original.
Las siguientes declaraciones de espera y responder a las preguntas aquí.
- El campo de los números algebraicos tiene una presentación recursiva, la cual es única hasta recursiva isomorphisms. Así, en el resto de las instrucciones, simplemente tenemos que usar $\mathbb{A}$ a representar el campo de los números algebraicos asumiendo cualquier recursiva presentación.
- Dado cualquier extensión finita $\mathbb{Q}\subseteq F\subset\mathbb{A}$ de los racionales y de campo homomorphism $f\colon F\to\mathbb{A}$, existe un recursiva isomorfismo $g\colon\mathbb{A}\to\mathbb{A}$$g\vert_F=f$. Esto puede ser construido de la siguiente manera; la elección de un recursiva enumeración $a_1,a_2,\ldots$$\mathbb{A}$, inductivamente definir $g(a_i)$ $a_j$ para el mínimo de $j$, para los que hay un homomorphism $F(a_1,\cdots,a_i)\to\mathbb{A}$ de los que tomaron $a_i$ $a_j$y de acuerdo con el elegido previamente los valores de $g$$F(a_1,\ldots,a_{i-1})$.
- El anillo de enteros algebraicos es un recursiva subconjunto de $\mathbb{A}$.
- Cada finitely generado ideal de la algebraica de los números enteros es recursiva.
- Cada finitely generado adecuada ideal $I$ de los algebraica de los números enteros está contenida en un recursiva ideal maximal $\mathfrak{m}$. Esto puede ser construido como se describe en la pregunta. Deje $a_1,a_2,\ldots$ ser recursivo enumeración de los enteros algebraicos. Set $I_0=I$ y, para cada una de las $n\ge1$, $I_n=I_{n-1}+(a_n)$ si esto es correcto, de lo contrario $I_n=I_{n-1}$. A continuación, $\mathfrak{m}=\bigcup_n I_n$ es recursivo ideal maximal que contiene a $I$.
Voy a explicar cómo estos pueden ser demostrado.
1) El campo de los números algebraicos tiene una presentación recursiva.
Esto no es difícil, y hay varias maneras en que $\mathbb{A}$ puede ser presentado de forma recursiva. Me referiré a Rabin1 que muestra el más general (y más interesante) resultado de que cada forma recursiva presentado campo $K$ tiene una forma recursiva presentado algebraica de cierre. La idea es representar a la algebraica del cierre de la $R/\mathfrak{m}$ donde $R=K[x_1,x_2,\ldots]$ es un polinomio de anillo en infinidad de indeterminates y $\mathfrak{m}$ es recursivo ideal maximal de a $R$.
2) $\mathbb{Q}$ tiene un algoritmo de la división.
Es decir, no es una computable procedimiento para determinar si un polinomio $f\in\mathbb{Q}[X]$ es reducible o no. Esto se describe en la página de la wikipedia sobre polinomio factorización. Multiplicando $f$ por un número entero, si es necesario, podemos suponer que tiene coeficientes enteros. Entonces, si factores como $f=gh$, Gauss, lema nos dice que podemos tomar $g,h$ tener coeficientes enteros. El cálculo de $f$ $n={\rm deg}f$ valores enteros $\{a_i\}$, entonces, si $f(a_i)=0$ tenemos un factor de $X-a_i$, de lo contrario $f(a_i)$ sólo tiene un número finito de factores. Esto le da sólo un número finito de opciones para $g(a_i),h(a_i)$ cada uno de los cuales puede ser interpolada en una manera única por polinomios de grado $\le n$. Cada uno de estos puede ser verificada (interpolación de Lagrange) para dar una búsqueda exhaustiva de todos los posibles factores de $f$$\mathbb{Q}[X]$.
3) Si $K$ es una forma recursiva presentado campo de la característica $0$ con un algoritmo de la división, y $K\hookrightarrow L=K(a_1,\ldots,a_n)$ es un número finito (algebraica) de extensión de campo, entonces se puede obtener un algoritmo de la división para $L$.
Voy a referencia Trager del método, como se describe en la página de la Wikipedia sobre polinomio factorización. Se basa en la extensión son separables, por lo que el primitivo elemento teorema puede aplicarse (y está garantizado para característicos $0$ campos).
4) Deje $\mathbb{Q}\hookrightarrow L$ $\mathbb{Q}\hookrightarrow M$ ser presentado de forma recursiva algebraica de los cierres. Si $\mathbb{Q}\subseteq F\subset L$ es un finitely generado subextension, y $f\colon F\to M$ es un campo homomorphism, entonces existe un recursiva isomorfismo $g\colon L\to M$$g\vert_F=f$.
Como $M$ es de forma recursiva presentó, en particular, tiene un efectivo de los pedidos (aunque no es compatible con la estructura del campo).
Deje $F=\mathbb{Q}(c_1,\ldots,c_n)$ $\{a_1,a_2,\ldots\}$ ser recursivo enumeración de $L$. Definir $f(a_i)$ por inducción en $i$ como sigue. Encontrar un polinomio en $\mathbb{Q}[X]$ satisfecho por $a_i$ (sólo recurse a través de test y de cada elemento en $\mathbb{Q}[X]$ hasta que uno se encuentra, si es necesario). Por el algoritmo de la división dada por (3) por encima de los a $F_i\equiv\mathbb{Q}(c_1,\ldots,c_n,a_0,\ldots,a_{i-1})$, podemos factor para obtener el polinomio mínimo de a$a_i$$F_i[X]$. La aplicación de $f\vert_{F_i}$ a los coeficientes de este polinomio se da un elemento de $M[X]$, y podemos dejar que la $f(a_i)$ ser uno de sus raíces (es decir, el mínimo de la raíz en $M$ bajo el orden dado). Este puede ser encontrado por recursing a través de $M$ en orden y pruebas de cada elemento a su vez hasta que la raíz se encuentra. El resultado $f$ puede ser visto para ser eficaz, es un isomorfismo, y $f\vert_F=g$.
Nota (4) muestra que los números algebraicos son únicos hasta el efectivo isomorphisms y también genera muchos eficaz isomorphisms de $\mathbb{A}$.
Eso es suficiente para responder plenamente a la pregunta del título, aunque las respuestas en el cuerpo de la pregunta es un poco diferente. Son aún sí, el uso de ideas similares. Puedo volver y agregar a esto, pero eso es suficiente por ahora...
1Computable álgebra, teoría general y teoría de la computables campos, Michael O. Rabin, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 95 (1960), 341-360. (link)
2contenido Efectivo de la teoría del campo, G. Metakides & A. Nerode, Ann. De matemáticas. La lógica, 17 (1979) 289-320. (link)
