Es cierto que el continuo preimagen de un conjunto cerrado cerrado. Esto es sólo un hecho general de la topología:
$A$ es cerrado iff (por definición) su complemento $A^c$ está abierto.
$f$ es continua iff (por definición) el $f$-preimagen de cualquier conjunto abierto es abierto.
El complemento de la preimagen es la preimagen del complemento. (Ejercicio)
Sin embargo, esto no es lo que queremos: queremos que la imagen de un conjunto cerrado se cierra (ya que estamos tratando de ir de$V$$Log(V)$, y sabe que la primera está cerrado). Esto es en general falso: por ejemplo, considere el mapa de $arctan(x)$ como una función de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Es el $f$-imagen del conjunto cerrado $\mathbb{R}$ un conjunto cerrado?
Un mapa que envía cerrado conjuntos de conjuntos cerrados es llamado (como era de esperar) cerrado, y, en general, continua mapas no necesitan ser cerrados y mapas de la necesidad de no ser continua.
Esto parece descartar la posibilidad de un fácil la prueba . . .
. . . así que vamos a tener que ser más inteligente. ¿Qué otras propiedades no $Log$?
Así, la observación crucial es:
El mapa de $Log: (\mathbb{C}^\times)^N\rightarrow\mathbb{R}^N$ es correcta (es decir, preimages de conjuntos compactos es compacto).
Esto no es difícil de demostrar: un conjunto compacto en $(\mathbb{C}^\times)^N$ o $\mathbb{R}^N$ es sólo un cerrado y acotado conjunto, por lo que es suficiente para demostrar que la $Log$-preimagen de un conjunto acotado es acotada desde $Log$ es continua.
OK, entonces, ¿qué? Bien, resulta que si $f:X\rightarrow Y$ es un continuo adecuada mapa y $Y$ es localmente compacto (de hecho, sólo se necesitan los más débiles condición de que $Y$ "de forma compacta generado," pero eso es un poco más técnico), a continuación, $f$ está cerrada! No voy a probar esta aquí, ya no lo necesitamos; sólo voy a demostrar que una adecuada correspondencia entre dos localmente compacto métrica del espacio es cerrado.
Supongamos $f:X\rightarrow Y$ es un continuo correspondientes del mapa entre dos localmente compacto métrica espacios, y $A\subseteq X$ es algunas conjunto cerrado. Deje $y\in\overline{A}$ (donde "$\overline{\cdot}$" denota "cierre"); a continuación, para cada número natural $i$, vamos a $U_i$ ser un subconjunto compacto de $Y$ contiene $y$ con diámetro de $<2^{-i}$, y deje $W_i=f^{-1}(U_i)\cap A$.
Desde $y$ está en el límite de $f(A)$, $W_i\not=\emptyset$ para cualquier $i$. Así que elija $x_i\in W_i$.
Desde $f$ es adecuada, $f^{-1}(U_i)$ es compacto, y por tanto la secuencia $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$ tiene un convergentes larga. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el conjunto de la secuencia converge, y llame a su punto límite $z$.
Desde $A$ es cerrado, $z\in A$. Pero, ¿ve cómo mostrar ahora que $f(z)=y$?
