Primero usé ese $x \equiv 1\pmod{3}$ para que $x=3k+1$ para algunos $k$ .
Luego lo pongo en la siguiente ecuación así $(3k+1)^3+(3+k)+1\equiv 81k^3+81k^2+12k+3\equiv 0\pmod{81}$ ,
Así que $12k+3\equiv 0\pmod{81}$ Luego lo dividí por $3$ (¿Es esto posible y por qué es posible?) para obtener $4k+1\equiv 0\pmod{27}$ .
El siguiente paso fue encontrar la inversa de 4 en $\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}$ a través del algoritmo euclidiano que es 7. Así que $k\equiv -7\equiv 20\pmod{27}$ .
Así que llego a la solución de que $x=20*3+1=61$ que funciona. Sin embargo, quiero encontrar una manera más elegante o es este el enfoque normal para encontrar una solución?
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Su método es, hasta donde yo sé, el más normal en este caso.
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Busca el lema de Hensel y la iteración de Newton para saber cómo funciona en general.
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A mí me parece bien. Esto se generaliza a la llamada elevación de Hensel, donde bajo ciertas condiciones se puede "elevar de forma única" una solución módulo a un primo (aquí $x=1$ modulo $3$ ) a una solución módulo de cualquier potencia del mismo primo.
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¿El lema de Hensel?
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@Bernard See por ejemplo, aquí. Por cierto, tienes que hacer un ping explícito a los usuarios que utilizan at-sign si quieres que reciban una notificación en su bandeja de entrada (he visto tu comentario por casualidad cuando he retomado la pregunta).