Quiero resolver el siguiente ejercicio:
Mostrar que las dos curvas elípticas $E/ \mathbb{Q}$ $E'/ \mathbb{Q}$ son isomorfos.
$E: y^2 = x^3+x-2$ $E': y'^2 = x'^3-\frac{1}{3}x' - \frac{52}{27}$ .
Estoy tratando de encontrar a un cambio de las variables de $(x,y)\mapsto(x',y')$ la transformación de la Weierstraß ecuación de definición de $E$ a la Weierstraß ecuación de definición de $E'$.
He intentado esto por conjeturas, porque no podía pensar de una manera inteligente.
Una primera idea era poner $y = (\sqrt{27 y'}-\sqrt{2})$ porque entonces me hago la $27y'^2 = 27x'^3-27x'-52$ $y'^2 = x'^3-x'-\frac{52}{27}$ que parece un poco más como $E'$. Pero no sé qué hacer acerca de la $x$.
Es allí una manera más estratégica para hacer esto? ¿Alguien tiene una idea de cómo resolver este ejercicio?
Todo lo mejor!
Respuestas
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Álvaro Lozano-Robledo
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Bueno, te equivocaste de ecuaciones, debido a que son no isomorfos. El $j$-invariante clasifica curvas elípticas hasta el isomorfismo ( $\mathbb{C}$ ), y el $j$-invariantes de estas curvas se $432/7$$-64/25$, respectivamente. Ya que son distintos, no son isomorfos.
A la luz de Noam Elkies respuesta, el $j$-invariante de $y^2=x^3+x^2-2$ es, de hecho,$-64/25$, el mismo que $E'$ en el enunciado del problema.
