La intuición detrás de Taylor/la Serie de Maclaurin

Question

** Esta es una cuestión diferente de la Intuición explicación de la expansión de taylor? **

Entiendo que algunos de la intuición detrás de un Taylor/Maclaurin de expansión. Más específicamente, entiendo que la adición de más y más alto grado de los polinomios de añadir más 'puntos de inflexión' en un gráfico para representar mejor las curvas de la función que desea aproximado.

No entiendo por qué

un.) agregar los términos; no debe agregar términos de cambio de la gráfica a la izquierda/derecha, arriba/abajo? Además de la cuestión del cambio de la gráfica, simplemente no entiendo por qué tendría que añadir más términos, en lugar de simplemente cambiar su primer término en consecuencia.

Ahora entiendo la parte de arriba, gracias microarm15 y Nicolás Stull. Ahora yo no entiendo la parte b de esta pregunta

b.) los términos añadidos son los sucesivos derivados de la función. ¿Qué hace la adición de sucesivas derivados media/?

Cualquier ayuda sobre el tema es muy apreciado. Gracias!

Answer 1

Bueno, primero que todo yo no soy un matemático, y lo siento si no puedo explicar lo que yo sé, en una llanura.

Funciones más populares, es decir, como trigonométricas, log, exp, no son funciones lineales, lo que significa que el más alto es el orden de la aproximación polinómica, mejor será la aproximación. Aumentar el orden del polinomio de grado medio el aumento de la no linealidad; y sí, sí que debe cambiar el valor de la función un poco con la adición de cada mayor plazo hacia el valor real de la función, que en su mayoría es trascendental, es decir, no puede ser finitely representados.

Nota: en la vida real, no de las funciones lineales, especialmente la popular transcendetal funciones trigonométricas como que son ampliamente utilizados en la Gpu, son aproximadas por polinomios de chebychev que proporcionan mucha mayor precisión, con el mismo grado de los polinomios de taylor.

Answer 2

b.) los términos añadidos son los sucesivos derivados de la función. ¿Qué hace la adición de sucesivas derivados media/?

Cualquier ayuda sobre el tema es muy apreciado. Gracias!

Ver el $N$th orden de polinomio de Taylor para $f(x)$$x=a$: $$T_N(x):=\sum_{n=0}^N {f^{(n)}(a)\over n!}(x-a)^n.$$

Usted dice que "la adición de sucesivas derivados de la función". Bueno, no exactamente. Lo que pasa es que ya que vamos a añadir más términos en el polinomio de Taylor para $f$, estamos añadiendo más y más poderes de $x$. Los coeficientes de estos términos están relacionados a $f$ a través de la fórmula de arriba. Pero no estamos añadiendo "derivados de $f$", más bien de orden superior polinomio términos.

La razón de esto es útil, es porque si se vuelve a pensar en cómo la $N$th grado del polinomio de Taylor se deriva: $T_N(x)$ fue el polinomio de grado $N$ que coincidieran a través de la primera $N$ derivados de $f$$x=a$. Es decir, $${d^j\over dx^j}T_N(x)\Bigg|_{x=a}={d^j\over dx^j}f(x)\Bigg|_{x=a}\forall j=0,1,\dots,N$$.

Así, por ejemplo, $T_1(x)$ es la mejor aproximación lineal de $f$ $x=a$ en el sentido de que $T_1(x)$ corresponde a $f$ en el valor de la función y la derivada en $x=a$.

Del mismo modo, $T_2(x)$ es la "mejor aproximación cuadrática" de $f$$x=a$. Y $T_3(x)$ es la mejor cúbicos aproximación de $f$$x=a$. Geométricamente, como hemos tenido más y más términos en el polinomio de Taylor, el resultado es una mejor aproximación (en el sentido descrito más arriba).

Aquí una foto de $T_N(x)$, $N=0,\dots,12$ para$f(x)=\sin x$$a=0$:

Finalmente, para conectar este a Taylor de la serie, acaba de dejar a $N\to\infty$. Usted puede encontrar este post de ayuda.