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Una propiedad de la función Delta de Dirac

Parece que no puedo probar la siguiente propiedad del $ \delta $ - función.

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Por favor, ayúdame.

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Matt L. Puntos 7009

Observe que en la vecindad de un cero $t_i$ la función $h(t)$ puede ser aproximado por

$$h(t) \approx h'(t_i)(t-t_i) \tag {1}$$

Con $(1)$ la integral dada puede ser escrita como

$$ \int_ {- \infty }^{ \infty }f(t) \delta (h(t))dt= \sum_i\int_ {t_i- \epsilon }^{t_i+ \epsilon }f(t) \delta (h'(t_i)(t-t_i))dt \tag {2}$$

con algunos pequeños $ \epsilon >0$ . Sustituye a $u=h'(t_i)(t-t_i)$ en $(2)$ da

$$ \begin {align} \int_ {- \infty }^{ \infty }f(t) \delta (h(t))dt&= \sum_i\frac {1}{h'(t_i)} \int_ {- \epsilon h'(t_i)}^{ \epsilon h'(t_i)}f \left ( \frac {u}{h'(t_i)}+t_i \right ) \delta (u)du \\ &= \sum_i\frac {1}{|h'(t_i)|} \int_ {- \epsilon |h'(t_i)|}^{ \epsilon |h'(t_i)|}f \left ( \frac {u}{h'(t_i)}+t_i \right ) \delta (u)du \\ &= \sum_i\frac {f(t_i)}{|h'(t_i)|} \tag {3} \end {align}$$

del que se desprende el resultado.

Note que hemos asumido que las raíces $t_i$ son simples, y eso $h'(t_i) \neq 0$ .

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