Integral indefinida de una función racional con lineal denominador: $ \int \frac{ x^7}{(x+1)}{dx} $

Question

$$ \int \frac{ x^7}{(x+1)}{dx} $$ $$ \int \frac{ \left(x^7 + x^6 - x^6 - x^5 + x^5 + x^4 -x^4 - x^3 + x^3 + x^2 - x^2 -x^1 + x^1 +1 -1\right ) }{\left(x+1\right)}{dx}$$ $$ \int { \left(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 -x +1 - \frac{1}{x+1}\right)}{dx}$$

$$\frac{x^7}{7} - \frac{x^6}{6} + \frac{x^5}{5} -\frac{x^4}{4}+ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^1}{1} -\frac{\log(x+1)}{1} +C $$ ¿Hay alguna otra buena manera de hacer esto ?

Answer 1

Vamos $$I=\int\frac{x^7}{x+1}dx$$ Se aplican $x+1\to y$ para obtener $$I=\int\frac{(y-1)^7}{y}dy$$ Usando el teorema del binomio $$I=\int\frac{1}{y}\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}y^k(-1)^{7-k}dy$$ $$=\int\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}y^{k-1}(-1)^{7-k}dy$$ $$=\sum_{k=0}^{7}\int\binom{7}{k}y^{k-1}(-1)^{7-k}dy$$ $$=C-\ln|y|+\sum_{k=1}^{7}\frac{1}{k}\binom{7}{k}y^k(-1)^{7-k}$$ $$=C-\ln|x+1|+\sum_{k=1}^{7}\frac{1}{k}\binom{7}{k}(x+1)^k(-1)^{7-k}$$ Punto en el cual usted tiene la mayoría de las normas de una respuesta satisfactoria.

EDITAR
Si usted maestro hizo algunas progresión geométrica cosas que este podría haber sido lo que él hizo: $$I=\int\frac{x^7}{x+1}dx$$ $$=\int\frac{y^7}{1-y}dy\qquad(x\to -y)$$ $$=-\int\frac{-1+1-y^7}{1-y}dy$$ $$=\int\frac{1}{1-y}dy-\int\frac{1-y^7}{1-y}dy$$ $$=\ln|1-y|-\int\left(\sum_{n=0}^6y^n\right)dy$$ $$=\ln|1-y|-\sum_{n=0}^6\int y^ndy$$ $$=\ln|1-y|-\sum_{n=1}^7\frac{y^n}{n}$$ $$=\ln|1+x|-\sum_{n=1}^7\frac{(-x)^n}{n}$$ Ese método no hace uso parcial de la fórmula de la suma de una serie geométrica.

Answer 2

Mismo como su método : Pero trate de la reducción del uso de fórmulas para grados superiores : Vamos

$$I_n= \int \frac{x^n}{(x+a)}dx$$

$$I_n= \int \frac{(x+a)x^{n-1}-ax^{n-1}}{(x+a)}dx$$

$$I_n= \int x^{n-1}dx-a\int \frac{x^{n-1}}{(x+a)}dx$$

Por lo $$I_n+aI_{n-1}=\frac{x^n}{n}$$

Ahora usted tiene que encontrar la $I_7$