Mostrar que $ (b_{k})$ es estrictamente decreciente

Question

Donde, $b_{k} := (1+ \frac{1}{k})^{k+1}$

De una parte anterior tengo que:

$\frac{b_{k+1}}{b_{k}} = (1+ \frac{1}{k+1}) (1 - \frac{1}{(k+1)^2})^{k+1}$

¿Cómo puedo usar esto para mostrar que $(b_{k})$ es estrictamente decreciente para $n \ge 1$?

Mi enfoque ha sido el de intentar mostrar que $\frac{b_{k+1}}{b_{k}} <1$

Mi mejor intento ha sido:

$\frac{b_{k+1}}{b_{k}} = (\frac{k+2}{k+1})(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})^k$

No estoy preocupado acerca de la última parte de la $(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})^k$, como es claramente < 1, y $(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})$ < 1, pero $(\frac{k+2}{k+1})$ es claramente > 1, por lo que estoy teniendo problemas con la combinación de este último término con $(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})$, para intentar conseguir algo que es claramente < 1.

También he probado a utilizar la inducción en $k$, pero se vuelve muy desordenado y nada de lo obvio palos. Cualquier consejo sería muy apreciada!

EDITAR:

También he probado a utilizar el concepto de Infimum y Supremum, pero veo que el supremum de $(1 + \frac{1}{k+1})$ se produce cuando $k = 1$, Pero el supremum de $(\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^2})^{k+1}$$1$$k \rightarrow \infty$. (Aunque es claro que el índice de $k$ es necesario que sea el mismo para ambos términos. Pero el supremum de los dos términos juntos es muy difícil de determinar, ya que van en direcciones opuestas como $k$ aumenta. Que todavía no me dan nada obvio. Cualquier ayuda sería genial! Gracias!

Answer 1

Continuando con su idea:

$\frac{b_{k+1}}{b_{k}} = (1+ \frac{1}{k+1}) (1 - \frac{1}{(k+1)^2})^{k+1} \stackrel{\text{Bernoulli}}{\le} \left((1+ \frac{1}{(k+1)^2})(1-\frac{1}{(k+1)^2})\right)^{k+1}\stackrel{\text{GM-AM}}{\le} 1^{k+1}=1$

Voy a tratar de dar mi propia solución más adelante, pero no es una promesa. :P

Answer 2

ya que el Uso de AM-GM de la desigualdad tenemos $$(1+\dfrac{1}{k})^k=(1+\dfrac{1}{k})(1+\dfrac{1}{k})\cdots(1+\dfrac{1}{k})\cdot 1\le\left(\dfrac{k+1+\dfrac{k}{k}}{k+1}\right)^{k+1}=\left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^{k+1}$$

Answer 3

$$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2}} &=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\\ &=\frac{n}{n+1}\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+2}\\ &=\frac{n}{n+1}\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^{n+2}\\ &\gt\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{n+2}{n(n+2)}\right)\\ &=1 \end{align} $$ Donde la desigualdad estricta anterior se sigue de la Desigualdad de Bernoulli, inductivo prueba de que se encuentra al final de esta respuesta.

Answer 4

Prueba algunos de los números y verás que de a $\frac{b_{k+1}}{b_{k}}>0$ todos los $k$. Por ejemplo, con $k=1$ obtener $\frac{9}{8}$.

Lo mejor sería mirar por encima de la parte anterior de nuevo. No puedo publicar comentarios aún, así que tuvo que publicar esto como una respuesta. Mis disculpas.

Answer 5

Deje $f$ ser una función de $\mathbb{R}$ a definido a sí misma por$$f(x)=(x+1)^{1/x}$$ El uso de diferenciación logarítmica para mostrar $$f'(x)=\frac{(x+1)^{\frac{1}{x}-1}(x-(x+1)\log(x+1))}{x^2}$$ Prove that $f'(x)<0 $ for $x\ge0$ (it holds for all $x$ but in your case you are likely only concerned with $x=k\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$). ¿Qué podemos concluir de aquí?