¿Son los vectores propios de una matriz simétrica real siempre una base ortonormal sin cambios?

Question

Estaba leyendo el página de wikipedia para matrices simétricas, y me di cuenta de esta parte:

a real n×n matrix A is symmetric if and only if there is an orthonormal basis of Rn consisting of eigenvectors for A

¿Significa esto que los vectores propios de una matriz simétrica con valores reales siempre forman una base ortonormal, es decir, que sin cambiarlos en absoluto, siempre son ortogonales y siempre tienen una norma de 1?

¿O significa que basado en en los vectores propios, podemos manipularlos (por ejemplo, dividirlos por su norma actual) y convertirlos en vectores con norma 1?

Answer 1

No hay "los" vectores propios de una matriz. Por eso el enunciado de Wikipedia dice que "existe" una base ortonormal...

Lo que se determina de forma única son los eigenspaces . Pero se pueden hacer diferentes elecciones de vectores propios de los espacios propios y hacerlos ortogonales o no (y, por supuesto, se puede entrar y salir de lo "ortonormal" multiplicando por escalares). En el caso especial en el que todos los valores propios son diferentes (es decir, todas las multiplicaciones son $1$ ) entonces cualquier conjunto de vectores propios correspondientes a diferentes valores propios será ortogonal.

Como nota al margen, hay un pequeño problema de lenguaje que aparece a menudo. Se trata de que las matrices tienen valores propios, pero para hablar de vectores propios estás viendo tu matriz como un operador lineal en un espacio vectorial (y de ahí viene, por supuesto, la noción de valor propio)

Para ver un ejemplo concreto, considere la matriz $$ \begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} $$ La base ortonormal de la que habla el artículo de Wikipedia es $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ .

Pero como la multiplicidad de cero como valor propio es $2$ podemos elegir una base diferente para su eigespacio, y entonces $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}$ es otra base (no ortogonal) de vectores propios.

Por último, si no se quiere una base, se puede tener una infinidad de vectores propios: por ejemplo, todos los vectores de la forma $\begin{bmatrix}t\\0\\0\end{bmatrix}$ para cualquier $t$ son vectores propios. Y todos los vectores $\begin{bmatrix}0\\t\\s\end{bmatrix}$ para cualquier $t$ y $s$ son vectores propios.

Answer 2

Hay dos cosas diferentes que pueden ir mal:

1) Los vectores propios siempre se pueden escalar. Por lo tanto, si $v$ es un vector propio, entonces también lo es $av$ para $a\in k^\ast$ . Así que la longitud de una parte no es automática, pero se puede forzar fácilmente - como usted mismo dijo dividiendo cada eigenvector por su longitud.

2) Y lo que es más importante, los vectores propios lineales independientes a la mismo Los valores propios no tienen por qué ser ortogonales. Lo que sí es cierto es que dos vectores propios a diferentes Los valores propios de una matriz simétrica son ortogonales. Por lo tanto, si cada valor propio tiene multiplicidad uno, una base de vectores propios es automáticamente ortogonal (y se puede hacer ortonormal como arriba). En general, tenemos que encontrar primero una base ortogonal de cada eigespacio, por ejemplo, mediante Gram-Schmidt.

Edición: La segunda parte se ilustra en la respuesta de @Martin. Los vectores propios del valor propio $1$ son siempre ortogonal a los vectores propios del valor propio $0$ . Sin embargo, podemos elegir varias bases no ortogonales del eigespacio para $0$ .

Answer 3

No, si $v$ es un vector propio, entonces $\alpha v$ es también un vector propio para cualquier $\alpha\in F$ .

Para que $v$ para formar parte de una base ortonormal debe cumplirse que $||v||=1$ pero multiplicando en $\alpha$ cambia la norma del vector

Answer 4

Aunque normalmente se habla de un conjunto finito de vectores propios para una matriz, este conjunto finito no está determinado de forma única, y se podría sustituir cualquier elemento del mismo por un múltiplo escalar. En otras palabras, si $v$ es un vector propio de $\lambda$ entonces también lo es $\mu v$ para cualquier $\mu\ne0$ en el campo base. Por lo tanto, en general un vector propio no necesita tener norma $1$ pero podemos dividir por la norma para obtener un vector propio paralelo que sí tiene norma $1$ .

Answer 5

Probablemente deberías considerar $E_n$ que sólo tiene un valor propio, es decir $1$ y sólo los vectores propios. No todas las bases de $\mathbb R^n$ es ortonormal.