¿Existe una prueba combinatoria de Cauchy-Schwarz?

Question

Sólo he jugado un poco con esto durante el último día o así, y no he pensado demasiado en ello, así que puede ser obvio. Obviamente no es justo pedir una "prueba combinatoria" de una desigualdad que implica números reales, así que pediremos que los vectores estén en $\mathbb{N}^n$ . Más concretamente:

Dadas n cajas subdivididas en una "mitad derecha" y una "mitad izquierda" con $a_i$ objetos en la mitad derecha de la caja $i$ y $b_i$ en la mitad izquierda de la caja i, ¿existe una función inyectiva natural desde

Dos pares (ordenados, con reemplazo) de objetos, conteniendo cada par un objeto de la mitad izquierda y un objeto de la mitad derecha de una caja fija

a

¿Un par (ordenado, con reemplazo) de la mitad derecha de alguna caja, y un par (O,WR) de la mitad izquierda de alguna caja (posiblemente diferente)?

(Perdona si esto es un doble; mi inalámbrico está siendo extraño).

Answer 1

Honestamente, no realmente, no es muy interesante, combinatoria prueba. Creo que de los casos más triviales $a^2 + b^2 \ge 2 a b$. ¿Cómo se puede demostrar que la combinatoria? Bien, organizar los términos en $(a+b)^2$ como demostrar el teorema de Pitágoras y cortar las dos plazas por una diagonal. Ahora observe que la reflexión de triángulos blancos cubrirá los rectángulos azules. Esta prueba puede ser expresado en un puramente combinatoria del lenguaje, pero ¿por qué molestarse - es un estándar de "libro" a prueba de que usted puede encontrar en todas partes. Del mismo modo, usted puede tomar: $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(a_i b_j + a_j b_i \right)^2$$ expandir todos los términos y obtener un sabor similar "combinatoria" a prueba de, más o menos el mismo lo puede encontrar en libros. Pero de nuevo, ¿por qué molestarse?

P. S. Si quieres ver el verdadero poder de bijective pruebas, usted puede comprobar fuera de mi encuesta de partición bijections. Perdón por la auto-promoción, pero no existe ningún otro compendio general (aunque Stanley "la Combinatoria Enumerativa" hace mención a muchos hermosos bijections, muchos de los cuales se oculta en las soluciones de los ejercicios).