El hecho de que $e^{i\pi}=-1$?

Question

Ayer, mi hijo me preguntó de qué era el hecho de que $e^{i \pi}=-1$. Le dije que se podría usar para impresionar a una chica, que es cierto, pero probablemente una respuesta incompleta. Así que, me pregunto, ¿hay alguna aplicación práctica del hecho de que $e^{i \pi}=-1$?

Answer 1

Lo que resulta realmente útil es el de Euler, la fórmula de la conexión de la exponencial compleja para las funciones trigonométricas. Que permite el uniforme de los tratamientos de ecuaciones diferenciales lineales. Es también sorprendentemente fundamental en la mecánica cuántica, donde se necesitan espacios de complejas funciones con valores. La identidad en $z=-1$ es una consecuencia.

Si su hijo es/avanzado lo suficiente como para comprender que la identidad viene de los ejemplos podría convencerlo de que la exponencial compleja es útil.

Usted puede ser que desee comprobar hacia fuera William Dunham de Euler: El Maestro de Todos Nosotros

https://www.amazon.com/William-Dunham-Dolciani-Mathematical-Expositions/dp/B008UYMPLK/ref=sr_1_9?s=books&ie=UTF8&qid=1511183632&sr=1-9&refinements=p_27%3AWilliam+Dunham

Answer 2

Tengo una sugerencia al respecto. El puño, por ejemplo, es para dar una respuesta a la siguiente pregunta: el número de $e^{\pi}$ es algebraico, es decir, existe un polinomio con coeficientes enteros tales que $e^{\pi}$ es una raíz?

La respuesta es no, debido a que $e^{\pi.i}=-1$ implica que

$$(e^{\pi.i})^{-i}=(-1)^{-i} \Rightarrow e^{\pi.(-i^2)}=(-1)^{-i} \Rightarrow e^{\pi}=(-1)^{-i}$$

Pero, por Gelfand-Schneider Teorema, (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem) este número no es algebraico. Por otro lado, el problema de si $\pi^e$ es algebraica o trascendente es todavía un problema abierto en Matemáticas.

Answer 3

Se utiliza principalmente en la identidad de $e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta,$, lo que significa la teoría de series de Fourier y las transformadas de Fourier puede existir.