En este vídeo, Arnold dice que el Cartan fórmula $$ \mathscr L_{\mathrm X} = d i_{\mathrm X} + i_{\mathrm X} d$$ es sólo un avatar de $(fg)' = fg' + f'g$.
Por qué ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Wow. Este video me recuerda lo triste que estoy de no haber escuchado Arnol gustaría hablar mientras él estaba vivo.
El siguiente es un intento de resolver lo que le pasaba por la observación.
Supongamos que $V$ es un buen campo de vectores en un colector $M$. Deje $C$ ser un liso $k$-de la cadena en $M$ y deje $\omega$ ser un liso $k$-forma en $M$. Indicar el flujo de $V$$\phi_t$. Deje $\Phi$ ser la integración de $I \times C \to M$ $(t, x) \mapsto \phi_t(x)$ donde $I = [0, T]$ es un intervalo y $t$ es la coordenada en él.
Para cualquier $k+1$forma $\Omega$$M$,$\Phi^*\Omega = \phi_t^*\Omega + dt \wedge i_V \Omega$$I \times C$.
Ahora, el límite de $I \times C$ es $$-(\{0\} \times C) \cup I \times \partial C \cup \{T\} \times C.$$ If the signs are done correctly, this is the formula Arnol'd also calls the Leibniz formula for a Cartesian product of chains, that $\parcial A\times B =\partial \times B \cup \times \parcial B$.
Ahora, por Stokes teorema de \[ \int_{I \times C} \Phi^*d\omega = -\int_{0 \times C} \Phi^*\omega + \int_{I \times \partial C} \Phi^*\omega + \int_{T \times C} \Phi^*\omega. \]
Si sustituimos en lo que se computa para $\Phi^*\Omega$ (en la LHS, $\Omega = d\omega$ y en los HR, $\Omega = \omega$), tenemos $$ \int_{I \times C} \phi_t^*d\omega + dt \wedge i_V d\omega = - \int_{0 \times C} \omega + \int_{I \times \partial C} dt \wedge i_V \omega + \int_{T \times C} \phi_T^* \omega. $$
Primero, permítanme explicar por qué, a partir de este paso, se obtiene Cartan la fórmula mágica. Diferenciar ambos lados con respecto a $T$. Esto se convierte en $$ \int_{C} d\omega + i_V d\omega = -0 + 0 + \int_C L_V \omega. $$ Esto es cierto para un arbitrario suave de la cadena de $C$, por lo que la igualdad se mantuvo en el nivel de $k$-formas pointwise.
Ahora, la razón de esto es la misma prueba de ello es que hemos llegado a la misma imagen. De hecho, en ambos casos, el paso clave es el uso de la imagen se dibujó en el consejo de $I \times C$ y determinar sus límites, y diferenciarse con respecto a la $t$ parámetro.
EDIT: aquí es una prueba de que $\Phi^*\Omega = \phi_t^*\Omega + dt \wedge i_V \Omega$ $I \times C$.
Nota: la primera que, por definición,$\Phi^*\Omega|_{t,x} = \Omega( d\Phi(t,x) \cdot , d\Phi(t,x) \cdot, \dots, d\Phi(t,x) \cdot)$. Ahora, $d\Phi(t,x) = d\phi_t(x) + V(\phi_t(x)) \otimes dt$. En otras palabras, $d\Phi(t,x) \, v = d\phi_t(x)\,v$ por cada $v \in TC$$d\Phi(t,x)\,\partial_t = V(\phi_t(x))$.
Unenlightening prueba 1: combine esta expresión para $d\Phi$ $\Omega$ y se obtiene la fórmula que me reclama.
Prueba 2: el uso de coordenadas locales. Elegir una base para $TC$ en el punto de $x$. Tenemos que $\Phi^*\Omega$ es un formulario en el $C \times I$, por lo que se puede escribir como $\mu + dt \wedge \nu$ $t$dependen de las formas $\mu$$\nu$$I \times C$. Para calcular los $\mu$, evaluamos $\Phi^*\Omega$ sobre la base de la $TC$ y $\mu = \phi_t^*\Omega$. Para calcular los $\nu$, evaluamos $\Phi^*\Omega$$\partial_t$, seguido por una colección de vectores de nuestra base de $T_xC$. Esto nos da el $i_V \Omega$ plazo.
Sería genial si alguien me podía enseñar una buena prueba de este hecho, en realidad.
OK, ya que me llene en más detalles, el vínculo entre las dos pruebas se vuelve más y más tenue. Sospecho que Arnol d está diciendo algo más profundo que la similitud estoy notando. Creo que tiendo a caer en la más "algebraica" modo de pensar en el exterior de derivados, y él tiene un carácter más geométrico de la imagen en la mente.
