Núcleo de una de morfismos entre coherente de las poleas.

Question

A lo largo de este libro, http://books.google.co.kr/books/about/Algebraic_Geometry_and_Arithmetic_Curves.html?id=uaLKdA0PxS4C&redir_esc=y, núcleo de una de morfismos entre coherente poleas en un local Noetherian esquema es también coherente.

Más precisamente, vamos a $X$ ser localmente Noetherian esquema y $u:\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ ser una de morfismos coherente de las poleas en $X$. A continuación, $\textrm{Ker }u$ es también coherente.

Dice el autor, esto es trivialmente cierto. Sin embargo, no puedo probarlo. Por otra parte, no sé si es verdad o no.

Aunque no tengo ningún ejemplo claro, creo que esto sería falso en el siguiente sentido; al $X$ es localmente Noetherian esquema y $\mathcal{F}$ es coherente gavilla en $X$, se sabe que $\mathcal{F}(U)$ es finitely generadas $\mathcal{O}_X(U)$-módulo para cualquier afín a abrir subconjunto $U$$X$. Si $\textrm{Ker }u$ es coherente, entonces la secuencia de $\textrm{Ker }u(U)\to\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)$ $\mathcal{O}_X(U)$- módulos es una exacta para cualquier afín a abrir $U$. Sin embargo, en general, un submódulo de un finitely módulo generado no es finitely generado. Así, tal vez no sería un ejemplo que surge forman la secuencia $\textrm{ker} f \to L\xrightarrow{f}M$ donde $L,M$ son finitely módulos generados y $\textrm{ker }f$ no puede ser generado por cualquier conjunto finito. Es esto razonable?

En realidad, podemos encontrar la misma instrucción para $X$ es Noetherian caso en Hartshorne del libro. Si la declaración es verdadera, ¿cómo podemos expandir el caso?

Answer 1

Desde $X$ es localmente noetherian, y desde submódulos de f.g. los módulos a través de un noetherian anillo son finitely generado, podemos ver que este es localmente verdad: que es para cualquier afín a abrir espec$R$, hay una cubierta de la $U_i=D(f_i)$ de Spec$R$, $f_i\in R$ la generación de la unidad ideal, tal que ker$(f)(U_i)$ es finitely generado.

Por lo tanto, todos tenemos que demostrar es la siguiente encolado resultado: Deje $f_1,...,f_k$ generar el ideal $(1)$ en un anillo de $R$. Deje $M$ ser un módulo en $R$. Queremos mostrar que si $M_{f_i}$ son todos finitely generadas $R_{f_i}$-módulos, a continuación, $M$ es un finitely generadas $R$-módulo. De hecho, vamos a $\frac{m_{ij}}{1}$ generar $M_{f_i}$ donde $m_{ij}\in M$.

Deje $m\in M$. Por nuestra suposición, se puede fijar un número $N$ y elementos $r_{ij}\in R$ tal que

$f_i^Nm=\sum_j f_i^Nr_{ij}m_{ij}$ todos los $i$.

Pero ahora vamos a utilizar el hecho de que $(f_1,...,f_r)=1$, por lo que podemos escribir $1=\sum_{i=1}^k s_if_i$, $s_i\in R$. Tomando esta ecuación a la $kN$th poder, vemos que, de hecho,$(f_1^N,...,f_r^N)=(1)$.

Por lo tanto podemos escribir $1$ como una combinación lineal de las $f_i^N$, por lo que podemos escribir $m$ como una combinación lineal de los elementos de la $f_i^Nm$, lo que, por nuestra anterior ecuación, significa que podemos escribir $m$ como una combinación lineal de las $m_{ij}$.

Por lo que el $m_{ij}$ generar $M$ y hemos demostrado $M$ es finitely generado.

Answer 2

Sugerencia: Un anillo de $R$ es noetherian iff submódulos de f.g. $R$-los módulos son de nuevo f.g.