Cómo probar que este conjunto de desigualdades $|B|\ge 2|A|^2-1$

Question

deje $A$ es un conjunto finito ,y el elemento son enteros positivos,y vamos a $$B=\{\dfrac{a+b}{c+d}|a,b,c,d\in A\}$$ mostrar que $$|B|\ge 2|A|^2-1$$ donde $|X|$ es definir el conjunto finito$X$ números

Este es un 2014 de china a la TUBERCULINA .y veo esto reslut es similar $$\cos{(2x)}=2\cos^2{x}-1$$

y para este problema que tengo encontrar algunos útiles de papel:http://www.math.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/null2.pdf

y http://www.cs.elte.hu/~karolyi/cd2.pdf

y http://www.webpages.uidaho.edu/newton/math376/Spring02/reudavid3.pdf

y http://cds.cern.ch/record/904813/files/cer-002575022.pdf

Pero no puedo demostrar mi problema .Gracias

Answer 1

Creo que es una muy reciente resultado, vi la Balog de papel http://arxiv.org/abs/1402.5775 hace apenas unos días.

Answer 2

Set $A+A=\{a+b|a,b\in A\}$. Por el Cauchy-Davenport teorema, $$|A+A|\ge 2|A|-1$$ (la igualdad se logra si $A=\{1,2,\ldots,n\}$). Por lo tanto, podemos considerar que los $$B=\left\{\frac{a}{b}:a,b\in A+A\right\}$$

Esto le da a $(2|A|-1)^2=4|A|^2-4|A|+1$ valores de $B$, de las cuales no todas son distintas. Sigue el recuento de los elementos distintos de a $B$.