¿Por qué el Producto Cruzado tiene n en su fórmula? $a \times b = \vert a \vert \vert b \vert \sin(\theta) n$

Question

La fórmula del producto cruzado es : $$ a \times b = \vert a \vert \vert b \vert \sin(\theta) n $$ Uno de los propósitos del producto cruzado es obtener un valor vectorial que esté en ángulo recto con los dos vectores dados.

• Si estamos encontrando dicho vector (que es perpendicular/en ángulo recto con los dos vectores dados) entonces por qué tenemos que usar $\text{'}n\text{'}$ como entrada del cálculo del producto cruzado, donde $n$ = un vector unitario en ángulo recto con ambos $a$ y $b$ .

• ¿Podemos encontrar un vector que esté en ángulo recto con los dos vectores dados sin saber $\text{'}n\text{'}$ ?

• y si tenemos que usar $\text{'}n\text{'}$ cómo calcularíamos el valor de $n$ cuando sólo tenemos el vector $a$ y el vector $b$ ?

Answer 1

Esa es una forma de definirlo, pero la forma habitual de computa $c = a \times b$ está utilizando coordenadas: $$ \eqalign{c_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2\cr c_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3\cr c_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1\cr}$$ Así que no, no necesitas saber $n$ de antemano, se puede obtener como resultado del cálculo del producto cruzado.

Answer 2

Sus principales argumentos contra la definición $a\times b := |a||b|\sin(\theta)\hat n$ parecen ser (1) que para utilizar esta definición, tenemos que ser capaces de encontrar el vector normal derecho $\hat n$ primero. No veo que eso sea un gran problema. Hay varios métodos conocidos para encontrar ese vector normal. Y (2) que pareces creer que el producto cruzado sólo es útil para encontrar el vector normal. No estoy de acuerdo. Una lista no exhaustiva de otras aplicaciones útiles del producto cruzado incluye

• encontrar el área del paralelogramo con los lados como vectores.
• que describen diversas magnitudes físicas, como el par motor y el campo magnético.
• junto con el producto punto en forma de triple producto escalar, encontrando el volumen de un paralelopípedo.
• describiendo (/ modelando) el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3)$ .

Ahora bien, he aquí algunos argumentos para esa definición particular del producto cruzado (BTW, hay otras definiciones):

1. Es totalmente independiente de las coordenadas. Por lo tanto, al utilizar esta definición, no sólo no tendremos que preocuparnos por tener que cambiar nuestras coordenadas en algún momento en medio del trabajo de un problema, sino que hace que la notación sea mucho más compacta que, por ejemplo, las fórmulas en los posts de user247327 y Robert Israel.
2. Es una definición muy geométrica. Es de la forma (escalar) por (vector unitario) así que sabemos inmediatamente al ver esa fórmula que la longitud del producto cruzado es $|a||b|\sin(\theta)$ y la dirección a la que apunta es la dirección normal de la derecha. De nuevo, compara esto con las fórmulas dadas en los posts de user247327 y Robert Israel. No está nada claro, sólo con mirar esas definiciones, cuál es la longitud o la dirección de $a\times b$ es.
3. Sugiere una conexión con el producto punto definido por $a\cdot b :=|a||b|\cos(\theta)$ . Por ejemplo, la identidad de Lagrange queda muy clara: $$(a\cdot b)^2 + |a\times b|^2 = |a|^2|b|^2\cos^2(\theta) + |a|^2|b|^2\sin^2(\theta) = |a|^2|b|^2\big(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)\big) = |a|^2|b|^2 \\ \bbox[5px,border:2px solid red] {(a\cdot b)^2 + |a\times b|^2 = |a|^2|b|^2}$$

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Posdata:

Tenga en cuenta que la definición de un objeto no siempre va a ser la mejor manera de calcular en la práctica. Ahora que tenemos esta definición, podemos demostrar que implica las fórmulas de los posts de user247327 y Robert Israel bajo suposiciones leves. Así que si queremos ponerle números, no hay razón para no usar esas fórmulas en su lugar.

Compárese con la integral de Riemann. La definición de la integral de Riemann es bastante complicada, ¿verdad? Pero, por suerte, rara vez tenemos que utilice esa definición para evaluar realmente una integral -- utilizamos el teorema fundamental del cálculo.

Lo mismo ocurre con el producto cruzado. La definición puede ser un poco más difícil de usar, pero por las razones anteriores (y otras más complicadas en las que no he entrado) es una definición bastante buena para demostrar teoremas y otras cosas que podríamos necesitar hacer con una definición. Pero no hay ningún problema en utilizar algún otro método para calcularla.

Answer 3

El producto cruzado da un vector. Por lo tanto, ya que $\|a\|\|b\| \sin( \theta)$ es un escalar, no te daría un vector. Por lo tanto, para obtener un vector hay que multiplicar ese escalar por un vector unitario $n$ cuya longitud es uno y cuya dirección está determinada por la regla de la mano derecha.

Answer 4

"Uno de los propósitos del producto cruzado es obtener un valor vectorial que forme un ángulo recto con los dos vectores dados. Si estamos encontrando tal vector (que es perpendicular / en el ángulo recto a ambos vectores dados) entonces por qué tenemos que utilizar 'n' como una entrada del cálculo del producto cruzado donde n = vector unitario en ángulo recto a ambos a y b."

No usamos n para encontrar el Producto Cruzado. En su lugar, utilizamos la fórmula que dio Robert Israel, que puede escribirse como un determinante "simbólico": $\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b3\end{array}\right|$

"¿Podemos averiguar un vector que forme un ángulo recto con los dos vectores dados sin conocer 'n'?"

Sí, utilizando la fórmula de Robert Israel. Aunque es útil conocer la definición que da para utilice el producto cruzado, en realidad nadie calcula el producto cruzado de esa manera. En su lugar, utilizan esa fórmula.

"y si tenemos que usar 'n', ¿cómo encontraríamos su valor en primer lugar cuando sólo tenemos a y b?"

No, nosotros no "¡tienen que usar la 'n'!"