Derivación de Shell Método

Question

Hace poco vi una "derivación" de la shell método de integración para los volúmenes en un libro, que fue así:

Para encontrar el elemento de volumen contenida en una cápsula de radio interior $r = x$ y con radio de $R = x + \Delta x$, la longitud de la $y$, tenemos:

$$\begin{align*}\Delta V &= \pi(R^2-r^2)y\\ &=\pi y(x^2+2x\Delta x + \Delta x^2 - x^2)\\&=2\pi xy\Delta x + \pi y\Delta x^2\end{align*}$$

Como $\Delta x$ es muy pequeña, $(\Delta x)^2$ es insignificante, por lo tanto $$\Delta V = 2\pi xy\Delta x\\\therefore V = 2\pi \int_a^bxy\,dx$$

Estoy totalmente de entender esto, pero estoy satisfecho con el razonamiento de que a $\Delta x^2$ es insignificante. Formalmente, ¿por qué se nos permite ignorar la $\Delta x^2$ plazo?

Answer 1

Parece que usted está tratando con el caso de un cilindro (es decir, la altura siempre es $y$). En general, la altura de un shell es una función de $x$, decir $f(x)$, por lo que el volumen de un shell es $$\Delta V=2\pi xf(x)\Delta x + \pi f(x) (\Delta x)^2.$$ Ahora dicen que el rango de $x$ valores $[a,b]$. Si dividimos esta en $n$ piezas, el extremo izquierdo de la $k$th pieza es $(k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}$. Este es el radio interior de la $k$th shell. Ahora el volumen total de la $k$ de las conchas $$\sum_{k=1}^n 2\pi\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right)\cdot f\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right)\cdot \frac{1}{n} + \pi f\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2.$$ Aquí sólo he sustituido $(k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}$ $x$ $\frac{1}{n}$ $\Delta x$ y suman a lo largo de la $n$ conchas. Ahora, como el número de piezas en la partición de $n$ crece, este se acerca el volumen del sólido. El reclamo es que $$\small \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n 2\pi\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right)\cdot f\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right)\cdot \frac{1}{n} + \pi f\left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2$$ $$= 2\pi\int_a^bxf(x) \ dx.$$ El límite puede ser rota en dos partes. La primera es $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n 2\pi \left((k-1)\cdot\frac{(b-a)}{n}\right)\cdot f\left((k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}.$$ Asumiendo $xf(x)$ es Riemann integrable en $[a,b]$, esto converge a $2\pi \int_a^bxf(x) \ dx$. La segunda parte de el límite es $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\pi f\left((k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}\right)\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2.$$ Ahora queremos mostrar este límite es cero (esto es lo que se entiende por "$(\Delta x)^2$ es insignificante"). Podemos re-escribir como $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)\left( \pi\sum_{k=1}^n f\left((k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}\right).$$ Ahora $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$, tenemos $$\lim_{n\to\infty} \pi \sum_{k=1}^n f\left((k-1)\frac{(b-a)}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\pi\int_a^b f(x) \ dx<\infty.$$ También tenemos $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0.$$ Ya que los dos anteriores límites existen y son finitos, el límite del producto se divide en el producto de los límites: $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)\left( \pi\sum_{k=1}^n f\left((k-1)\cdot \frac{(b-a)}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}\right) = \left(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\right) \left(\lim_{n\to\infty} \pi \sum_{k=1}^n f\left((k-1)\frac{(b-a)}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}\right)= 0 \cdot \pi \int_a^b f(x) \ dx = 0.$$ Por lo que esta segunda parte es, de hecho, insignificante.

Answer 2

Este no es un método formal que tiene el absoluto rigor de la respuesta que se da por primera vez, pero esto es lo que he aprendido a lidiar con ello, de una forma intuitiva.

Para una suficientemente pequeño $\Delta x$, la capa externa y la más interna de la envoltura (casi) igual.

Supongamos que usted tenía una circular bizcocho, con un espesor de $\Delta x$. Si usted desentrañar la primera capa del bizcocho (es decir, el exterior de la "shell" de la torta) y aplanar el bizcocho, lo que tienes es (prácticamente) de un prisma rectangular con un espesor de $\Delta x$ y la longitud (aproximadamente) igual a la circunferencia del bizcocho. La altura se mantiene sin cambios por este desenlace.

Así que la consola tiene un volumen que se aproxima, tiende a, y coincide con, un prisma rectangular de espesor $\Delta x$, la longitud de la $2\pi x$ y la altura de la $y$ en el límite.