Lo que está sucediendo a una curva en el espacio en un punto donde tiene una pequeña curvatura, pero de alta torsión

Question

Puede alguien darme una explicación intuitiva para el tipo de torsión o de flexión que una curva en $\mathbb{R}^{3}$ sufre cuando está en un punto de curvatura pequeño, pero de alta torsión?

Entiendo que la torsión mide el fracaso de una curva a ser planar es decir, estar contenida en un plano. Así, una curva con una alta torsión en algunos región debe estar retorciendo en varias direcciones a través de diversos planos en el espacio de 3 dimensiones. La curvatura en el otro lado a las medidas de la rapidez de la tangente de los vectores de cambio con respecto a la longitud de arco de la curva. Así que parece que mi intuición quiere pensar que la alta torsión implica una alta curvatura, pero que ciertamente no es el caso. Me preguntaba si alguien puede explicar esto

Answer 1

Podemos crear una curva fija con curvatura constante y de torsión: esto es congruente a una hélice $$ r(s) = \left( \frac{\sin{\theta}}{\lambda}\cos{\lambda s},\frac{\sin{\theta}}{\lambda}\sin{\lambda s}, s \cos{\theta} \right). $$ Es fácil ver que esta es la unidad de velocidad parametrizada, y un cálculo de la muestra se ha curvatura $$ \kappa = \lambda\lvert\sin{\theta}\rvert $$ y de torsión $$ \tau = \lambda \cos{\theta}, $$ y a continuación, podemos utilizar esta curva para ver lo que una curva con cualquier curvatura y la torsión se ve como localmente. En particular, para $\theta$ cerca de cero, la hélice se vuelve muy alargada.

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Nota: si $\kappa>0, \tau \in \mathbb{R}$, otra forma de escribir esta hélice es $$ r(s) = \left( \frac{\kappa}{\kappa^2+\tau^2}\cos{\sqrt{\kappa^2+\tau^2}s}, \frac{\kappa}{\kappa^2+\tau^2}\sin{\sqrt{\kappa^2+\tau^2}s}, \frac{\tau}{\sqrt{\kappa^2+\tau^2}}s \right), $$ que tiene curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$, pero es mucho más desagradable para escribir.

Answer 2

Sólo cuando la curvatura es cero no se puede decir que el cero de torsión espacio de la curva se encuentra en un plano.

La superficie de la teoría de la parametrización para apreciar esto en asociación con su superficie circundante es necesario aquí.

Solitario líneas incrustadas en el 3-espacio puede ser adecuadamente entendido de esta manera.

En los ejemplos dados a continuación todas las líneas son líneas rectas.

Tomemos el caso de la central asintótica de la línea en una helicoidal:

$$ u \cos v, u \cos v, c\, v $$

Líneas de $u=0 $ giro en torno a sí mismos como una sola recta y delgada cabello torcido... o la columna central de una escalera de caracol.

La línea de $ u=0 $ está torcido, aunque no tiene curvatura.

Se recomienda investigar generador de líneas de un paraboloide hiperbólico de giro de la curvatura de la $ \partial^2 z/ \partial x\partial y. $

es decir, por favor, lea acerca de cómo la superficie se genera por $$ x = u+v, y = u-v , z = u v, $$ o más, en el recto generadores de una sola hoja. hyperboloid de la revolución.

Superficie reglada línea recta generadores son buenos ejemplos. Sin excepción, estos son líneas pertenecen negativamente (Gauss) la curvatura de las superficies.