Evaluar $\sum_0^\infty \frac{1}{n^n}$

Question

Cortesía de este comic de xkcd ahora sé que

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \approx \ln^e(3) $$

Haciéndose eco de las opiniones del cómic en sí, si alguna vez me encuentro a mí mismo tomando $\ln^e(x)$, entonces es que algo ha ido terriblemente horriblemente mal. Qué es exactamente lo que está pasando aquí?

Traté de intentar una solución adecuada, pero parece que más allá de mí. Aquí está una wolfram enlace que confirma que esta ecuación es realmente válido.

No estoy seguro, pero tal vez esto puede ser aproximada por una suma de Riemann, seguido por la evaluación que a través de la integración? A partir de ahora sólo estoy etiquetado como suma, recreativos, de las matemáticas, y de la aproximación. Después de que una solución es publicada voy a editar en etiquetas para reflejar cómo fue resuelto.

Answer 1

Por el camino, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \approx 1+\frac{\sin \left(\frac{\pi }{e}\right)}{\pi } $$ parece ser una mejor aproximación.

Según RIES, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \approx\left(\frac{\phi +\pi }{2}\right)^{\frac{1}{\pi+\frac{1}{4} }}$$ es aún mejor, pero no tan bueno como el propuesto por JJacquelin.

Siguiente, por favor !

Answer 2

Muy precisa de aproximaciones puede ser calculada gracias a la serie de expansiones como el ejemplo dado por Claude Leibovici (13 dígitos exactos en caso de $S(10)$)

Otros métodos numéricos calculs conduce a una gran cantidad numérica appoximations de diversos tipos. Algunos ejemplos son comparados con los de abajo.

Muchas sorprendente de las fórmulas son muy fácilmente obtenidos con el método de cálculo experimental descrito en el documento "Mathématiques expérimentales" edita en Scribd : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents (en francés, no se traduce aún)