¿Qué es simétrica sobre el grupo simétrico?

Question

En mi álgebra abstracta lector muchas veces usan la palabra "simetría". Pero me acabo de enterar de que no estoy muy seguro de lo que quieren decir con ella.

Deje $X=\{1,...,n\}$. El conjunto $S_n$ de bijections $X\to X$ bajo composición con identidad $X\to X :x\mapsto x$ se llama el grupo simétrico de a $n$ símbolos.

Si pienso acerca de la simetría creo que hablar de cifras, como algo que se puede visualizar. Sin embargo no estoy seguro de si es o cómo debería visualizar el grupo simétrico de a $n$ símbolos como algo simétrica.

Edit: Gracias por todas las respuestas! Todos ellos contribuyeron definitivamente satisfecho con llamar a $S_n$ simétrica :)

Edit2: Esto me ayudó un montón, así: http://en.wikipedia.org/wiki/Frucht%27s_theorem

Frucht del teorema dice que cada grupo finito es el grupo de simetría de algunos gráfica. Así que cada finito abstracto grupo es en realidad el simetrías de algunos explícita de objetos.

Answer 1

Aquí es una manera de pensar acerca de esto:

De hecho, nos gusta pensar de un grupo como las simetrías de algún objeto, pero ¿qué tipo de simetrías a qué nos referimos?

Por ejemplo, si tomamos un diedro grupo, estamos buscando las simetrías de algunos puntos, donde estamos, además, requieren que ciertas líneas se mantienen (por lo que queremos bijective los mapas del conjunto formado por los puntos a, de tal manera que estos mapas también preservar estas líneas).

Para el grupo simétrico, nosotros, en cierto sentido, se olvida todo acerca de extra estructuras que de otro modo podrían desea, por lo que tomamos todas las simetrías de los puntos (es decir, todos los bijective mapas, sin restricciones adicionales).

Agregado: para responder A su pregunta acerca de la simetría de ser acerca de que no importaba si nos re-etiquetar los elementos: en cierta medida, pero hay un poco más a él.

En cierto sentido, la razón por la que los elementos que se permuting no se puede distinguir es que ninguno de ellos puede ser "enviado" a cualquier otro. Pero este es también el caso para el diedro grupos. Por lo tanto para los grupos simétricos y por el diedro grupos, no podemos distinguir cada uno de los puntos que estamos permuting.

Lo que podemos, sin embargo, distinguir por el diedro grupos y todavía no para los grupos simétricos son pares de puntos distintos. Esto es debido a que, dados dos pares de puntos distintos, si el diedro grupo puede enviar un par para el otro, entonces los pares deben estar conectados en la misma manera (es decir, por el mismo número de segmentos de línea en el polígono regular tenemos el diedro grupo que actúa sobre). Por otro lado, se dio ninguna de estas dos parejas, hay una permutación en el symmetrix grupo que envía una a la otra.

El anterior es un ejemplo de algo que se conoce como la transitividad y $2$-transitividad. Para obtener más información acerca de esto, uno puede leer mi reciente respuesta al Grado de un grupo de permutación

Answer 2

Usted puede presentar $S_n$ como el grupo de automorfismos de un grafo completo con $n$ vértices.

Answer 3

El grupo simétrico de a $n$ símbolos es el grupo de simetrías de la $n$-simplex, que es la más simétrica $n$-dimensiones polytope. La alternancia de grupo $A_n$ es el subgrupo que preserva la orientación.

(El $n$-simplex es sólo un $n$-dimensiones analógica del triángulo o el tetraedro).