$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac 1{n^2+1}+\frac 2{n^2+2}+\frac 3{n^2+3}+\cdots +\frac n{n^2+n}\right)$

Question

Evaluar:

$$ L=\lim_{n \to \infty} \left(\frac 1{n^2+1}+\frac 2{n^2+2}+\frac 3{n^2+3}+\cdots +\frac n{n^2+n}\right)$$

Mi enfoque:

Cada término puede escribirse como

$$ \frac k{n^2+k}=\frac {n^2+k-n^2}{n^2+k}=1-\frac {n^2}{n^2+k}$$

$$ \therefore \lim_{n \to \infty}\frac k{n^2+k}=\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac {n^2}{n^2+k}\right)=0$$

por lo tanto,

$$ L=0$$

El problema:

La respuesta correcta es 1/2, por favor indique el fallo en mi planteamiento o publique una nueva solución.

Gracias

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilizando $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ junto con las estimaciones $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$ revela

$$\frac{n(n+1)}{2(n^2+n)}\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\le \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}$$

Answer 2

Para una solución correcta, véase Respuesta de Mark Viola . Aquí explico por qué lo que hiciste no da la respuesta correcta.

El problema en su enfoque: cada término va individualmente a $0$ cuando $n$ llega hasta el infinito, efectivamente. Pero usted suma $n$ de ellos, y $n$ va al infinito .

Así que suma un grande número de pequeño términos. Esencialmente, se obtiene una forma indeterminada $\infty\cdot 0$ explicando la discrepancia entre lo que escribió y la respuesta real.

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Además, una rápida comprobación de cordura que muestra la respuesta canno sea cero: suponiendo por conveniencia $n$ está en paz, Tienes $$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \geq \sum_{k=n/2+1}^n \frac{k}{n^2+k} \geq \sum_{k=n/2+1}^n \frac{\frac{n}{2}}{n^2+n} = \frac{n}{2}\frac{\frac{n}{2}}{n^2+n} = \frac{1}{4}\frac{n^2}{n^2+n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{4} $$ por lo que el límite, si existe (y existe) tiene que ser al menos $1/4$ .

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{k = 1}^{n}{k \over n^{2} + k} & = \underbrace{\qquad{1 \over n}\sum_{k = 1}^{n}{k \over n}\qquad} _{\ds{\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\large\to} \int_{0}^{1}x\,\dd x = \color{red}{1 \over 2}}}\ -\ \overbrace{\qquad\underbrace{{1 \over n^{2}}\sum_{k = 1}^{n}{k^{2} \over n^{2} + k}}_{\ds{>\ 0}}\qquad} ^{\ds{< {1 \over n^{2}}\,\pars{n^{2} \over n^{2} + 1}n}}\ \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\large \to}\,\,\, \bbx{1 \over 2} \end{align}