Un básico de duda sobre el axioma de fundación de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos

Question

He leído en un libro que el "axioma de la fundación evita anomalías tales como conjunto es un elemento de sí mismo".

Ahora, el axioma de fundación dice que existe un elemento en cada set, lo cual es discontinuo con el conjunto.

Ahora si $S$ ser un conjunto, a continuación, de acuerdo a lo anterior axioma $S=\{S\}$ no puede ser un conjunto. Pero, $S=\{\{1\},S\}$ satisface el axioma de fundación y contiene $S$.

Así, la declaración mencionada en el libro correcto ?

Answer 1

Considere la posibilidad de $A=S\setminus\{1\}=\{S\}$, lo que existe por parte de los diversos comprensión de los esquemas. A continuación,$S\cap A=\{S\}$.

Por lo tanto, $A$ es un contraejemplo para el axioma de las fundaciones.

Comprender el axioma de fundación como diciendo "no hay anomalías como ..." es una muy informal. Es tan informal como decir que el axioma de infinitud de los estados "existe un conjunto infinito". Esta es una informal noción que captura la intuición detrás de las axioma, pero en realidad no nos dice lo que es el contenido de la axiología.

El axioma de fundación de los estados que $\in$ es un bien fundado relación. De esta afirmación se deduce que las anomalías como $x\in y\in z\in w\in u\in x$ no puede ocurrir. Pero, de hecho, nos dice más. Nos dice que podemos usar $\in$ de definiciones recursivas, lo que comúnmente se conoce como Epsilon inducción/recursividad.

Así, mientras que decir que el axioma de fundación evita anomalías tales como X no es correcto, no está bien definida. ¿Qué es una anomalía? ¿Por qué es X, es una anomalía? Estas nociones son informales, y también lo es el término "como". Es mejor para el estado el axioma en la forma correcta "$\in$ es un bien fundado relación".

Answer 2

Si $S\in S$ $\{S\}$ viola el axioma de fundación.

Answer 3

Usted parece pensar que usted puede encontrar un conjunto de $S$ tal que $S=\{\{1\},S\}$.

Pero realmente se puede? Vaya, anote esta establece de forma explícita. La verdad es que...usted no será capaz de.

Puesto de otra manera: supongamos que ab absurdo, que usted puede encontrar un conjunto de $S$. Por lo $S \in S$. Entonces el conjunto $\{S\}$ viola el axioma de regularidad, puesto que tanto $\{S\}$ $S$ contienen $S$, lo $\{S\} \cap S = \{S\}$ y por lo tanto no vacío.