Deducir un coeficiente de un polinomio cúbico.

Question

Por lo tanto, tengo esta pregunta, que es todavía preocupante mí:

Encontrar el valor de $k$ tales que la ecuación de $2x^3 + 3x^2 + kx - 48 = 0$ tiene dos soluciones de igual valor pero de signo opuesto.

He tenido numerosos intentos en este, tales como el uso de ecuaciones simultáneas y el teorema de factor, pero no siempre parece ser un problema. Estoy seguro de que me falta un paso importante aquí. Cualquier aclaración sería genial, gracias!

Answer 1

SUGERENCIA:

Por lo tanto, podemos asumir que las raíces de la forma $a,-a,b$

Así, utilizando la fórmula de Vieta

$a+(-a)+b=-\frac32\implies b=-\frac32$ $a\cdot(-a)\cdot b=\frac{48}2\implies a^2=16\implies a=\pm4$

Así, las raíces se $\pm4,-\frac32$

De nuevo el uso de Vieta la fórmula de $k=a\cdot b+(-a)\cdot b+a\cdot(-a)$

Answer 2

Deje $a$ ser uno de los pares de raíces. A continuación, $$2a^3 + 3a^2 + ka - 48 =0=2(-a)^3 + 3(-a)^2 + k(-a) - 48\Rightarrow(2a^2+k)a=0\Rightarrow k=-2a^2$$ Sustituya este a la ecuación de que uno se $$2a^3+3a^2+(-2a^2)a-48=0$$which gives $a^2=16\Rightarrow k=-2a^2=-32$.

Answer 3

también puede utilizar la comparación.

$2x^3+3x^2+kx−48=(2x+a)(x+b)(x-b) = (2x+a)(x^2-b^2) = (2x^3 +ax^2 - 2b^2x - ab^2)$

para una comparación

$2x^3+3x^2+kx−48 = (2x^3 +ax^2 - 2b^2x - ab^2)$

nos da a = 3, b = 4, k=-32

de modo que las respuestas de la pregunta sería $(2x+3)(x-4)(x+4)$

lo siento, no estoy seguro de cómo hacer superíndice por el poder.