Estoy atascado en el siguiente problema:
Dejemos que $P=\{x \in \Bbb R: x\ge 0,\sum_{n=1}^{\infty}x^{\sqrt n}< \infty\}$ Entonces, ¿cuál es el supremum de $P$ ?
¿Puede alguien ayudarme con alguna explicación? Gracias de antemano.
Respuesta
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nbevans
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Lo que buscas es el supremum de los valores para los que converge tu serie (si lo he entendido bien). Ahora sólo tienes que proceder con el método.
En primer lugar se puede observar que para $x \geq 1$ la sucesión no llega a cero para $n \rightarrow \infty$ , por lo que la serie obviamente diverge. Para $x=0$ la serie converge. Consideremos ahora $x \in (0,1)$ . Sabemos que $f(a)=x^{ \sqrt{a}}$ es monótonamente decreciente (y su límite es $0$ para $a \rightarrow \infty$ ) y positivo. Así que podemos utilizar la integral indefinida, sabiendo que $$\sum_2^n f(k) \leq \int_1^n f(a) d a \leq \sum_1^n f(k).$$ Ahora tenemos que evaluar la integral: $$\int_1^n x^{\sqrt{a}}da= \frac{1}{\ln(x)}\int_1^{\sqrt{n}}2y*x^y \ln(x)dy=$$ Ahora utilizamos la integración por partes: $$=\frac{2y x^y}{\ln(x)} \left. \right|_1^{\sqrt{n}}-\frac{2}{\ln^2(x)}\int_1^{\sqrt{n}}x^y \ln(x)dy=...=\frac{2x^{\sqrt{n}}}{\ln^2(x)}(\sqrt{n}\ln(x)-1)+c,$$ donde $c$ es el valor de la primitiva en $1$ .
Ahora bien, si se evalúa el límite de $n \rightarrow \infty$ , se encuentra $c$ , lo que demuestra que la integral converge. Ahora bien, esto significa que $P=[0,1)$ que tiene su origen en $1.$
