la prueba formal de calulus

Question

Dado $f:R \to R$, $f$ es diferenciable en a$R$$\lim_{x \to \infty}(f(x)-f(-x))=0$. Tengo que demostrar que no es $x_0 \in R$ tal que $f'(x_0)=0$

Estoy tratando de demostrar por contradicción .... así que yo supongo que no es $x_0 \in R$ tal que $f'(x_0)=0$ esto significa que la función es estrictamente monótona debido a que la derivada "respeta" el valor medio teorema de modo que no puede ser negativo y positivo, sin pasar por un valor de cero .... (por lo que entiendo que la función derivada de una continua/funciones diferenciables no es necesariamente continua, pero aún respecto del valor medio teorema creo que se llama el teorema de darboux )

ahora de $\lim_{x \to \infty}(f(x)-f(-x))=0$ ,obtenemos $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}f(-x)$

ahora el último paso es la contradicción que es muy intuitivo e incluso, tal vez obvio que no podemos obtener $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}f(-x)$ estrictamente monótona de la función, pero no puedo pensar de una manera formal para demostrarlo .

Answer 1

Sugerencia: Considere la función $g(x)=f(x)-f(-x)$. Desde $g(0)=0$ y $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0$, $g$ es idéntica $0$ o tiene un máximo local o un mínimo en $x_0\in(0,\infty)$. De la misma manera se ha demostrado por Teorema de Rolle, tenemos que $g'(x_0)=0$. Por lo tanto, $$ f'(x_0)+f'(-x_0)=0 $$ Si $f'$ no es idéntica $0$$x_0\ne0$, aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 2

Aunque creo que robjohn la respuesta es mucho más simple y mejor, estoy ofreciendo una alternativa a prueba.

Supongamos que $f'(x) \neq 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$. A continuación, ya que los derivados poseen valor intermedio de la propiedad, $f'(x)$ es de signo constante. Vamos a llevar el caso al $f'(x) > 0$ todos los $x$ (en el caso de $f'(x) < 0$ puede ser tratada de la misma manera). Claramente $f(x)$ está aumentando en todas partes y, por tanto, cualquiera de las $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = L$ o $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$. También ahora $f(-x)$ es menor y por lo tanto cualquiera de las $\lim\limits_{x \to \infty}f(-x) = M$ o $\lim\limits_{x \to \infty}f(-x) = -\infty$. Teniendo en cuenta cada una de las alternativas que podemos ver que tenemos los dos siguientes posibilidades:

• $\lim\limits_{x \to \infty}\{f(x) - f(-x)\} = L - M > 0$
• $\lim\limits_{x \to \infty}\{f(x) - f(-x)\} = \infty$

Pero esto contradice el hecho de $\lim_{x \to \infty}\{f(x) - f(-x)\} = 0$. Tenga en cuenta que en el anterior debemos tener $L > M$ porque $f(x)$ es estrictamente creciente ($\lim\limits_{x \to \infty}f(-x) = M \leq f(0) < f(1) \leq L = \lim_{x \to \infty}f(x)$).

Actualización: a partir De OP comentario de abajo supongo que la explicación adicional es necesaria que facilite a continuación. Primero yo aconsejaría OP convencer a sí mismo de la siguiente resultado:

Si $f(x)$ es creciente en el intervalo $[a, \infty)$ entonces $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)$ existe o $f(x) \to \infty$$x \to \infty$.

Existe una contraparte para la disminución de las funciones:

Si $f(x)$ es decreciente en el intervalo de $[a, \infty)$ entonces $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)$ existe o $f(x) \to -\infty$$x \to \infty$.

Se puede ver en los siguientes ejemplos se $f(x) = -1/x, \arctan(x)$ por el aumento de los casos con los límites existentes y $f(x) = \log x, e^{x}$ para divergentes a $\infty$. Sus puntos negativos podría servir como ejemplos para la disminución del caso. La función de $f(x) = \cos x$ mencionado en los comentarios por Hurkyl no está aumentando y por lo tanto el resultado anterior no se aplica a él. Una vez que están convencidos de que en cierta medida por los ejemplos anteriores es el momento de probar el resultado. Yo estableceré el caso para mejorar la función. Así que aquí va la prueba.

Deje $f(x)$ estar aumentando en $[a, \infty)$. Claramente podemos tener sólo dos posibilidades: o $f$ está delimitada en $[a, \infty)$, en cuyo caso $\sup_{x \in [a, \infty)} f(x) = A$ existe y es finito o $f$ es ilimitado en $[a, \infty)$.

Si $f$ está delimitado voy a demostrar que $\lim_{x \to \infty}f(x) = A$. Claramente, ya que $A = \sup f(x)$ cualquier $\epsilon > 0$ hay un número $x_{0} \in [a, \infty)$ tal que $A - \epsilon < f(x_{0}) \leq A$. Desde $f$ está aumentando por lo tanto si $x > x_{0}$ obtenemos $A - \epsilon < f(x_{0}) \leq f(x) \leq A$. De ello se sigue que tenemos $$A - \epsilon < f(x) < A + \epsilon$$ for all $x > x_{0}$ and hence $\lim_{x \to \infty}f(x) = A$.

Si $f$ es ilimitado, entonces para cualquier número positivo $N$ tenemos un valor de $x_{0} \in [a, \infty)$ tal que $f(x_{0}) > N$. De nuevo, si $x > x_{0}$ obtenemos $f(x) \geq f(x_{0}) > N$ y por lo tanto tenemos $f(x) > N$ todos los $x > x_{0}$. De ello se desprende que $f(x) \to \infty$$x \to \infty$.

Hay otro tema que OP se enfrenta y que es con respecto a la división de límites en el caso de expresiones como $f(x) \pm g(x)$ al $x \to \infty$. Claramente la regla $$\lim_{x \to \infty}\{f(x) \pm g(x)\} = \lim_{x \to \infty}f(x) \pm \lim_{x \to \infty}g(x)$$ holds when both the limits $\lim_{x \to \infty}f(x)$ and $\lim_{x \to \infty}g(x)$ exist. What happens when either one or both of them don't exist? In case one of them exists (say $\lim_{x \to \infty}g(x)$) then the behavior of $\{f(x) \pm g(x)\}$ as $x \to \infty$ is same as that of $f(x)$ as $x \to \infty$. Cuando los límites no existen, a continuación, sólo tenemos un caso cuando podemos decir con garantía y que es:

Si $f(x) \to \infty$$g(x) \to \infty$$f(x) + g(x) \to \infty$$x \to \infty$.

Similares observaciones pueden ser hechas cuando los límites se $-\infty$.