Racional o irracional

Question

Sabemos que $$0.12345\cdots = \frac{1}{10}+\frac{2}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{4}{10^4}+\frac{5}{10^5}\cdots = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{10^k}$$

demuestra que $0.12345\cdots$ es irracional .

Pensé que si dejaba que $0.1345\cdots$ fuera racional sería similar a la prueba de $\mathbb e$.

también calculé esa serie

NOTA :si $|x| < 1$ entonces $$\sum_{k=1}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x} \implies \sum_{k=1}^{\infty}kx^k= \frac{x}{(1-x)^2}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{10^k}=\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac{1}{10}\right)^k= \frac{\frac{1}{10}}{\left(1-\frac{1}{10}\right)^2}=\frac{10}{81}=0.1234567912346679\cdots$$ que es racional.

por favor dame pistas. No quiero compañeros que me den la respuesta.

muchas gracias.

Answer 1

No sé cómo darte una pista

Estás hablando de dos cosas diferentes

$0.12345678910111213\cdots$ conocido como $C_{10}$ (constante de Champernowne) es una constante trascendental real

Por otro lado Estás hablando de $$\begin{align} \frac{1}{10}+\frac{2}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{4}{10^4}+\frac{5}{10^5}\cdots &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{10^k}=\frac{10}{81}\end{align}=0.\overline{123456790}$$ el cual es racional y

Claramente $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0.12345678910111213\cdots\neq0.\overline{123456790}$

Dado que estás interesado en la prueba de irracionalidad Un poco de búsqueda en Google da respuestas de André Nicolas