Deje $h(x)= x^p − a^{p−1}x ∈ k[x]$. Mostrar que $k(h)$ es el campo fijo de $φ$.

Question

Deje $k$ ser un campo de característica $p>0$ ,y deje $a∈k$. Deje $h(x)= x^p − a^{p−1}x ∈ k[x]$. Mostrar que $h$ es fijado por la automorphism $φ$ $k(x)$ definido por $φ(f (x)/g(x)) = f (x + a)/g(x + a)$ para cualquier $f(x),g(x) ∈ k[x]$. Mostrar que $k(h)$ es el campo fijo de $φ$.

Aquí también no estoy recibiendo ninguna pista, así como encontrar algo que pueda actualizar. Hasta entonces cualquier persona que intente ayudar.

Answer 1

Eoin (+1) ya demostró que la $h$ es invariante bajo $\phi$.

Por inducción en $n$ vemos que $\phi^n(r(x))=r(x+na)$ todos los $n\in\Bbb{N}$ y todos los $r(x)\in k(x)$. De esto se sigue que $\phi$ es de orden $p$. Por lo $\phi$ genera un subgrupo $G\le Aut(k(x))$ orden $p$. Por los hechos básicos de la teoría de Galois el campo fijo $K=\operatorname{Inv}(G)$ satisface $[k(x):K]=|G|=p$.

Sabemos que $k(h)\subseteq K$, por lo que es suficiente para mostrar que $[k(x):k(h)]=p$. Debido a $[k(x):k(h)]=[k(x):K]\cdot [K:k(h)]$ vemos que $[k(x):k(h)]$ es un múltiplo de a $p$, en particular es $\ge p$.

OTOH $x$ es un cero del polinomio $$ m(T)=T^p^{p-1}T-h\in k(h)[T]. $$ Por lo tanto,$[k(h)(x):k(h)]=[k(x):k(h)]\le \deg m(T)=p$.

La reclamación $K=k(h)$ sigue de esto. Como un bono tenemos que $m(T)$ es el polinomio mínimo de a$x$$k(h)$, y, por tanto, irreductible en $k(h)[T]$.

Answer 2

Podemos mostrar que $h$ es fijado por esta asignación directa de la computación:

$$\varphi(h)=h(x+a)=(x+a)^p-a^{p-1}(x+a)=x^p+a^p-a^{p-1}x-a^p=h$$

Desde $k\subset k(x)$ es fijo (el mapa de $f(x)=c=f(x+a)$ por cada $a$), ahora tenemos un campo fijo $k(h)\subset k(x)$ por el cálculo anterior y tomando nota de que todos los elementos de a $k(h)$ son funciones racionales en la "variable" $h$ con coeficientes en $k$.

Por último, debemos mostrar que esto es todo lo que se fija por $\varphi$. Pero no puedo pensar en cómo hacerlo ahora, así que tal vez alguien va a responder a esta parte.

Answer 3

Por única factorización, el campo fijo de la automorphism es el campo de fracciones del anillo fijo, desde que asumió el denominador y el numerador son coprime su automorphism permutes la irreductible de los factores que aparecen en ellos. Para calcular el anillo fijo el uso de la inducción sobre el grado y división de polinomios.