Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js

4 votos

Deje h(x)=xpap1xk[x]. Mostrar que k(h) es el campo fijo de φ.

Deje k ser un campo de característica p>0 ,y deje a∈k. Deje h(x)= x^p − a^{p−1}x ∈ k[x]. Mostrar que h es fijado por la automorphism φ k(x) definido por φ(f (x)/g(x)) = f (x + a)/g(x + a) para cualquier f(x),g(x) ∈ k[x]. Mostrar que k(h) es el campo fijo de φ.

Aquí también no estoy recibiendo ninguna pista, así como encontrar algo que pueda actualizar. Hasta entonces cualquier persona que intente ayudar.

4voto

Eoin (+1) ya demostró que la h es invariante bajo \phi.

Por inducción en n vemos que \phi^n(r(x))=r(x+na) todos los n\in\Bbb{N} y todos los r(x)\in k(x). De esto se sigue que \phi es de orden p. Por lo \phi genera un subgrupo G\le Aut(k(x)) orden p. Por los hechos básicos de la teoría de Galois el campo fijo K=\operatorname{Inv}(G) satisface [k(x):K]=|G|=p.

Sabemos que k(h)\subseteq K, por lo que es suficiente para mostrar que [k(x):k(h)]=p. Debido a [k(x):k(h)]=[k(x):K]\cdot [K:k(h)] vemos que [k(x):k(h)] es un múltiplo de a p, en particular es \ge p.

OTOH x es un cero del polinomio m(T)=T^p^{p-1}T-h\in k(h)[T]. Por lo tanto,[k(h)(x):k(h)]=[k(x):k(h)]\le \deg m(T)=p.

La reclamación K=k(h) sigue de esto. Como un bono tenemos que m(T) es el polinomio mínimo de axk(h), y, por tanto, irreductible en k(h)[T].

2voto

Eoin Puntos 3757

Podemos mostrar que h es fijado por esta asignación directa de la computación:

\varphi(h)=h(x+a)=(x+a)^p-a^{p-1}(x+a)=x^p+a^p-a^{p-1}x-a^p=h

Desde k\subset k(x) es fijo (el mapa de f(x)=c=f(x+a) por cada a), ahora tenemos un campo fijo k(h)\subset k(x) por el cálculo anterior y tomando nota de que todos los elementos de a k(h) son funciones racionales en la "variable" h con coeficientes en k.

Por último, debemos mostrar que esto es todo lo que se fija por \varphi. Pero no puedo pensar en cómo hacerlo ahora, así que tal vez alguien va a responder a esta parte.

1voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

Por única factorización, el campo fijo de la automorphism es el campo de fracciones del anillo fijo, desde que asumió el denominador y el numerador son coprime su automorphism permutes la irreductible de los factores que aparecen en ellos. Para calcular el anillo fijo el uso de la inducción sobre el grado y división de polinomios.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X