El método de diferencias finitas

Question

Quería preguntarle algo respecto de la aproximación de diferencias finitas. He utilizado el de diferencia finita para calcular el numéricos derivados de mi función. La diferencia finita está dado por la siguiente fórmula:

$$\begin{equation} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation}$$

El valor de $h$ es cuestionable. En teoría nos debería hacerse tan pequeño como sea posible, pero no estoy seguro de si podemos acaba de elegir al azar diferentes valores de $h$ y tratar de ver cuál funciona mejor, o si hay alguna "regla" o restricción para recoger un buen valor de $h$.

Gracias

Answer 1

Si usted está usando un lado las diferencias finitas para la evaluación de la derivada, el menor tamaño de paso debe ser $$h=x\sqrt{\epsilon}$$ where $\epsilon$ stands for the machine accuracy ($\epsilon$ being the smallest number such that $1+\epsilon > 1$).

Esto está relacionado con el error de truncamiento que proviene de los más altos en términos de la expansión en series de Taylor $$f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac 12h^2f''(x)+\frac 16h^3f'''(x)$$ whence $$\begin{equation} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac 12 h f''(x) \end{equation}$$

Si usted puede permitirse el lujo de función de dos evaluaciones para la derivada, es mucho mejor usar $$f'(x)=\begin{equation} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{equation}$$ which will be more accurate and which will give you the second derivative for almost free. In such a case, you could choose $$h=x \sqrt[3]{\epsilon }$$

Answer 2

Una pregunta similar con un método para encontrar los valores óptimos de $h$.

En este caso, un método de proceso resultará en $h = \sqrt \frac{4 \epsilon}{M_2}$ donde $\epsilon$ es el error en las mediciones de la función (generalmente máquina de precisión, a menos que la medida de su función con el ruido) y $M_2$ es un obligado en la segunda derivada en el intervalo apropiado.