La secuencia y de la serie de que se trate. Condición para $x_n$ a ser un número entero

Question

Si $x_1$, $x_2$, $x_3,\ldots$ es una secuencia tal que $$x_n=\frac{x_{n-2}\space x_{n-1}}{2x_{n-2}-x_{n-1}},$$ donde $x_i \in \mathbb R$ $x_i \ne0 $ todos los $i\in \mathbb N$ y $n=3$, $4$, $5,\ldots$

¿Cómo puedo establecer las condiciones necesarias y suficientes en $x_1$ $x_2$ $x_n$ a ser un número entero por un número infinito de valores de $n$?

Se me ha pegado en este problema durante bastante tiempo ahora. Me parece que no puede encontrar un patrón para que yo pudiera "hacer" $x_n$ un entero.

Cualquier ayuda se agradece mucho!

Gracias de antemano!

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$ \frac{1}{x_n} = \frac{2}{x_{n-1}} - \frac{1}{x_{n-2}} $$

por lo $\tfrac{1}{x_n}$ satisface una recursividad lineal. Esto se puede resolver de forma explícita: Vamos a

$$ a = \frac{2}{x_1} - \frac{1}{x_2},\ b = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} $$

A continuación,$\tfrac{1}{x_n} = a + nb$, o

$$ x_n = \frac{1}{a+nb}. $$

Ahora si $b \neq 0$ $x_n \rightarrow 0$ y, en particular, $x_n$ sólo puede ser un número entero un número finito de veces. Por lo $b=0$ $a = \tfrac{1}{m}$ para algunos entero $m$.

Answer 2

Valor de $x_n$ puede escribirse como, $$\frac{1}{x_n} = \frac{2}{x_{n-1}} - \frac{1}{x_{n-2}}.$$ $$\frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_{n-1}} = \frac{1}{x_{n-1}} - \frac{1}{x_{n-2}}.$$ Esto significa que a diferencia de la recíproca romanos mismo, por lo tanto la secuencia de $1\over{x_n}$ está en progresión aritmética. Esto implica $${1\over{x_n}} = A + (n-1)D,$$ Where $Un$ is first term and $D$ is difference of arithmetic progression. $${{x_n}} = {1\over{A + (n-1)D}},$$Only way $x_n$ can be integer for infinitely many values of n, is $D = 0$ and A is fraction whose numerator is 1. In such cases $x_n$ will be constant $1\over{A}$ para todo valor de n.