Mostrar que $A\cap B\subseteq A$ $A\subseteq A\cup B$

Question

$$A \cap B \subseteq A$$

Mi primer paso sería escribir como $(x \in A \land x \in B) \subseteq A$. Sé por los siguientes implicación de que es siempre verdadera $P \land Q \implies P$. Pero no estoy seguro de cómo escribir matemáticamente correcta.

$$A \subseteq A \cup B $$

Me gustaría escribir como $A \subseteq (x \in A \lor x \in B)$ . Entonces sé siguiendo implicación de que es siempre verdadera $P \implies P \lor Q$. Pero de nuevo no sé cómo escribir en un matemáticamente correcta.

Puede usted ayudar a un principiante?

Answer 1

$x \in A$ es una expresión lógica y así es $\left((x \in A) \land (x \in B)\right)$. El operador $\subseteq$ opera en conjuntos, el resultado es un valor lógico. La definición es

• $U \subseteq V$ si y sólo si $(x \in U) \implies (x \in V)$

Las otras definiciones utiliza ar

• $ x \in U \cap V$ si y sólo si $ (x \in U) \land (x \in V)$

• $ x \in U \cup V$ si y sólo si $ (x \in U) \lor (x \in V)$

Así, la expresión $((x \in A) \land (x \in B)) ⊆ A$ no tiene sentido poner a un operador lógico en el lado izquierdo de $\subseteq$.

$P$ $Q$ son lógicas variables en

$$P \land Q \implies P$$

Si sustituye $P$$(x \in A)$, y el sustituto de $Q$ $(x \in B)$ consigue

$$(x \in A) \land (x \in B) \implies (x \in A)$$

Pero el lado izquierdo de la implicación es la definición de $x \in (A \cap B)$, así que usted consigue $$x \in (A \cap B) \implies (x \in A)$$ que a su vez es la definición de $\subseteq$.

Su segunda declaración puede ser probado de una manera similar.

Answer 2

Estás en lo correcto para empezar vamos a $x\in A\cap B$$x\in A\text{ and } B$. Puesto que x está en nosotros saber que $A\cap B\subseteq A$.

Ahora vamos a $x\in A$. Por definición, x está en la unión, si es que en a o B, por lo $A$ es un subconjunto de la unión.

Answer 3

Para mostrar esto, mostrar que cualquier elemento de a $x\in A\cap B$ (se lee "x en Un punto de intersección B") debe estar en Una, y lo mismo para la unión, muestran que cualquier $x\in A$ debe ser en $A\cup B$.