Demuestra que $\int_0^{\pi}\frac {\cos {n \theta}}{1-2r\cos \theta+r^2}\, \mathrm d \theta = \frac {\pi r^n}{1-r^2}$

Question

Estoy tratando de calcular $$I=\int_0^{\pi}\frac {\cos {n \theta}}{1-2r\cos \theta+r^2}\, \mathrm d \theta$$ donde $r\in(0,1)$

Intenté sustituirlo por $u = e^{2 i \theta}$ y utilizando la fórmula integral de Cauchy:

\begin{align}I&=\Re \int_{|u|=1}\frac {u^{n/2}}{(r-u^{1/2})(r-u^{-1/2})}\frac 1 {2iu} \,\mathrm d u \\&=\Re \frac {i} {2}\int_{|u|=1} \frac {u^{n/2 - 1}(r+u^{1/2})}{(u-r^2)(r-u^{-1/2})}\, \mathrm d u \\ &=\frac {2 \pi r^{n}}{1-r^2} \end{align}

pero la respuesta correcta es $\dfrac {\pi r^n}{1-r^2}$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

En el integrando, se tiene $$ \begin{align} \frac {u^{n/2 - 1}\left(r+u^{1/2}\right)}{\left(u-r^2\right)\left(r-u^{-1/2}\right)} &=\frac{ru^{n/2-1}}{\left(u-r^2\right)\left(r-u^{-1/2}\right)} +\frac{u^{(n-1)/2}}{\left(u-r^2\right)\left(r-u^{-1/2}\right)} \end{align} $$ Desgraciadamente, $u^{-1/2}$ no está bien definida en el círculo unitario. Del mismo modo, si $n$ es impar, $u^{n/2-1}$ no está bien definido en el círculo unitario, y si $n$ está en paz, $u^{(n-1)/2}$ tiene el mismo problema.

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Así es como yo lo haría para evitar este problema: $$ \begin{align} \int_0^\pi\frac{\cos(n\theta)}{1-2r\cos(\theta)+r^2}\,\mathrm{d}\theta &=\frac12\int_{-\pi}^\pi\frac{\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)}{1-2r\cos(\theta)+r^2}\,\mathrm{d}\theta\tag{1}\\ &=\frac12\oint_{\left|z\right|=r}\frac{z^n}{(z-r)\left(\frac1z-r\right)}\frac{\mathrm{d}z}{iz}\tag{2}\\ &=\frac1{2i}\oint_{\left|z\right|=1}\frac{z^n}{(z-r)(1-rz)}\,\mathrm{d}z\tag{3}\\ &=\frac1{2i}\frac{2\pi ir^n}{1-r^2}\tag{4}\\[3pt] &=\frac{\pi r^n}{1-r^2}\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : $\cos(x)$ es par y $\sin(x)$ es impar
$(2)$ : $z=e^{i\theta}$ y Fórmula de De Moivre
$(3)$ : álgebra
$(4)$ : $z=r$ es la única singularidad dentro del círculo unitario
$(5)$ : álgebra