Probabilidad de que la tirada más alta de dos grupos de dados sea la misma

Question

Digamos que rodamos n dados idénticos y justos, cada uno con d lados. (Cada lado sale con la misma probabilidad.) En cada dado, los lados están numerados de $1$ a d sin números repetidos, como era de esperar. Por lo tanto, es un d de la piscina del dado de la cara.

¿Cómo calcularíamos las probabilidades de que el valor más alto del dado lanzado de una determinada reserva de dados sea igual al valor más alto del dado lanzado de otra reserva de dados?

Answer 1

Dejemos que $(X_i)_{i=1}^n, (Y_i)_{i=1}^n$ sea la secuencia de resultados del dado individual, que son valores aleatorios mutuamente independientes e idénticamente distribuidos de manera uniforme.

Así que, para que te pongas en camino:

$$\begin{align}&\qquad\mathsf P(\max{(X_i)}_{i=1}^d=\max{(Y_i)}_{i=1}^d) \\[1ex]&=~ \sum_{k=1}^d \mathsf P(\max{(X_i)}_{i=1}^d=k)\cdot\mathsf P(\max{(Y_i)}_{i=1}^d=k)\\[1ex] &=~\sum_{k=1}^d \mathsf P\left(\bigcap_{i=1}^d \{X_i\leq k\} \smallsetminus\bigcap_{j=1}^d \{X_j\leq (k-1)\}\right)\cdotp\mathsf P\left(\bigcap_{i=1}^d \{Y_i\leq k\} \smallsetminus\bigcap_{j=1}^d \{Y_j\leq (k-1)\})\right)\\[1ex] &=~\sum_{k=1}^d \left(\mathsf P(X_1\leq k)^d -\mathsf P(X_1\leq (k-1))^d\right)\cdotp\left(\mathsf P(Y_1\leq k)^d -\mathsf P(Y_1\leq (k-1))^d\right)\\[1ex] &=~\sum_{k=1}^d \dfrac{(k^n-(k-1)^n)^2}{d^{2n}}\\[1ex]&~\ddots\end{align}$$