Funciones en espacios vectoriales sobre campos finitos

Question

Puede que cada función $\psi ~\colon \mathbb{F_{p}^n} \to \mathbb{F_{p}}$ ser considerada como una función polinómica para algún polinomio en $\mathbb{F_{p}[x_1, \ldots,x_n]}$?

Creo que esto es cierto, pero estoy teniendo problemas de probarlo.

Answer 1

Para cada punto de $y=(y_1,...,y_n)$$\mathbb{F}_p^n$, el polinomio

$$\prod_{i=1}^n\prod_{z_i=0\atop z_i\neq y_i}^{p-1}(x_i-z_i)$$

es distinto de cero en $y$ y cero en todas las demás, por lo que estos polinomios forman una base del espacio.

Answer 2

La respuesta es sí. Supongamos que los elementos de la $F_p$ se dan por $\{{a_1,\dots,a_p\}}$. En primer lugar, notemos que la función de $f(x) =1$ si $x=a_i$, e $f(x)=0$ lo contrario es un polinomio, dada por (constante) $f(x) = (x-a_1)\dots \widehat{(x-a_i)} \dots (x-a_p)$.

Nos deja denotar esta función por $f_i$. Para un $n$-tupla $(a_{i_1},\dots,a_{i_n})$ deje $f_{i_1,\dots,i_n}(x_1,\dots,x_n) = f_{i_1}(x_1) \cdot f_{i_2}(x_2) \cdot \dots \cdot f_{i_n}(x_n)$.

Ahora, dada una función de $f:F_p^n \to F_p$, se puede escribir como:

$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{ (a_{i_1},\dots,a_{i_n}) \in F_p^n } f_{i_1,\dots,i_n}(x) f(a_{i_1},\dots,a_{i_n})$ que es una suma finita de polinomios, y por lo tanto, un polnomial.