Cómo demostrar que se ha generado un grupo $\langle a \rangle$ por elemento $a$ es subgrupo normal de G si a es el centro de G?

Question

Problema: Sea $G$ denotan un grupo, y $H$ un subgrupo de $G$ . Supongamos que $a$ sea un elemento de $ G$ de orden 2.

Demostrar que $\langle a \rangle$ es un subgrupo normal de $G$ si a es en el centro de G.

Mi trabajo y mis pensamientos:

Supongamos que $a\in G$ tiene orden 2. Esto implica que $a^2=e$ Supongamos además $\langle a \rangle$ es un subgrupo normal de $G$ . Defina $N_G(H)= \{a\in G|aH a^-1\}= \langle a \rangle$ como normalizador. $(h\in H)$

NTS $aha^{-1 }= ah=ha$ porque $C_G(H)=\{a\in G|ah=ha\}$ .

¿Es ésta la idea correcta? Por supuesto que estoy empezando con $P \Rightarrow Q$ dirección entonces haré $Q \Rightarrow P$ . Estoy atascado. No sé cómo continuar.

Answer 1

Si $\langle a\rangle$ es un subgrupo normal de orden 2, entonces para todo $g\in G$ o bien $gag^{-1}=a$ o $gag^{-1}=e$ . Esto último es imposible porque implicaría que $a=e$ . Así que $a$ está en el centro.

Answer 2

$<a>=\lbrace e,a \rbrace$ . Supongamos que $<a>$ es normal, entonces $<a>$ es estable bajo conjugación. Por lo tanto, para todos $g \in G$ , $gag^{-1} \in <a>$ . Así que $gag^{-1}=e$ o $gag^{-1}=a$ . Ahora bien, si $gag^{-1}=e$ entonces $ga=g$ así que $a=e$ contradicción. Entonces $gag^{-1}=a$ así que $ga=ag$ . Así que $<a>$ está en el centro.