Demostrar que: R es una relación de equivalencia.

Question

En $ \mathbb{R^2}$ consideramos la relación $(x,y)R(a,b)$ si y sólo si existe $n \in \mathbb{Z} $ tal que $n-1<y\leq n \ $$ n-1<b\leq n \ $. Probar: $ R$ es una relación de equivalencia.

$R$ es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva .

Reflexiva: $\forall (x,y)\in \mathbb{R^2} \Rightarrow (x,y)R(x,y) \Rightarrow n-1<y\leq n \ \wedge n-1<y\leq n $

Simétrica: $\forall (x,y)\in \mathbb{R^2} \Rightarrow (x,y)R(a,b) \Rightarrow n-1<y\leq n \ \wedge n-1<b\leq n\Rightarrow n-1<b\leq n \ \wedge n-1<y\leq n\Rightarrow (a,b)R(x,y) $

Transitiva$\forall (x,y)\in \mathbb{R^2} $ \begin{split} (x,y)R(a,b)& \| n-1<y\leq n \ \wedge n-1<b\leq n \\ (a,b)R(c,d)& \|n-1<b\leq n \ \wedge n-1<d\leq n \\ &\Rightarrow n-1<y\leq n \ \wedge n-1<d\leq n\\&\Rightarrow\ (x,y)R(c,d) \end{split}

Es correcta mi prueba ?

Answer 1

Para ampliar mi comentario, he aquí cómo iba a adaptar su prueba.

Fix $(x,y),(a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2$.

Para la reflexividad, tenga en cuenta que $\cup_{n\in\mathbb{Z}}(n-1,n]=\mathbb{R}$ y por lo tanto no existe $n\in\mathbb{Z}$ tal que $n-1 < y \le n$. (Alternativamente, usted puede definir $n:=\lceil y \rceil$ si usted está familiarizado con el techo de la función.) Por lo tanto $(x,y)R(x,y)$.

Por simetría, supongamos $(x,y)R(a,b)$. Entonces existe $n\in\mathbb{Z}$ satisfactorio $$ n-1 < y \le n \quad \text{y} \quad n-1 < b \le n, $$ que por la simetría de la "y", es equivalente a $$ n-1 < b \le n \quad \text{y} \quad n-1 < y \le n. $$ En consecuencia,$(a,b)R(x,y)$.

Por transitividad, supongamos $(x,y)R(a,b)$$(a,b)R(c,d)$. Esto significa que hay $n,m\in\mathbb{Z}$ tal que $$ n-1 < y \le n \quad \text{y} \quad n-1 < b \le n $$ y $$ m-1 < b \le m \quad \text{y} \quad m-1 < d \le m. $$ Desde $(n-1,n]$ $(m-1,m]$ son distintos siempre que $n\ne m$$b\in(n-1,n]\cap(m-1,m]$, podemos inferir $n=m$. Por lo tanto $n-1=m-1 < d \le m = n$, de modo que tenemos $$ n-1 < y \le n \quad \text{y} \quad n-1 < d \le n. $$ Por lo tanto,$(x,y)R(c,d)$.

Esto completa la prueba de que $R$ es una relación de equivalencia.

Answer 2

el último, uno debe leer

\begin{split} (a,b)R(c,d)& \| n-1<b\leq n \ \wedge n-1<d\leq n \\ &\Rightarrow n-1<y\leq n \ \wedge n-1<d\leq n\\ &\Rightarrow\ (x,y)R(c,d) \end{split}

(primera evaluación se en $b$, no en $y$)

También ahora tendrá que demostrar mismo $n$ $y,b$ $d$...

Answer 3

La prueba de que me parezca bien, si se han corregido los problemas que otros han señalado. El uso de más palabras es un buen consejo.

Otra manera de comprobar esto es para asegurarse de que la aparente relación de equivalencia genera bien definido de clases de equivalencia que la partición del conjunto subyacente. Esta particular relación aparece la partición del plano en franjas horizontales: $\{(x,y)|n-1<y\leq n\}$ para cada entero $n$. Por lo tanto, parece ser una relación de equivalencia.