Límites infinitos con fracción

Question

$$\lim_{x\to\infty} \frac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+\cdots+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}$$ Parece fácil, pero ni idea de cómo hacerlo

Gracias

Answer 1

El uso de sumation podemos escribir $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{n=1}^{100}(x+n)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{n=1}^{100}x^{10}(1+n/x)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=$$

$$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{n=1}^{100}(1+n/x)^{10}}{1+(10/x)^{10}}=\sum_{n=1}^{100}1=100$$

Answer 2

Usted sólo necesita considerar la relación de los principales términos en el numerador y el denominador, ya que va a dominar. Hay 100 copias de $x^{10}$ en el numerador, por lo que sólo necesita calcular $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{100x^{10}}{x^{10}} = \lim_{x\rightarrow +\infty} 100 = 100$.