La generación de la función de la secuencia de $1,1,3,3,5,5,7,7,9,9,\ldots$

Question

La generación de la función de la secuencia de $\left\{1,1,1,1,...\right\}$ $$1 + x + x^2 + x^3 ... = \frac{1}{1-x}$$ ¿Cuál es la función de la generación de la secuencia de $\left\{1,1,3,3,5,5,7,7,9,9,\dots \right\}$?

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Este es mi intento:

lo que queremos hacer es, después de la inicial $\left\{1,1,1,1,...\right\}$ función queremos añadir dos más funciones desplazado dos a la derecha como $\left\{0,0,1,1,1,...\right\}$ y mantener la adición de la función 2 en un tiempo y cada dos se desplazan 2 más a la derecha y luego a la anterior. así que lo primero sería $\left\{1,1,1,1,\dots \right\}$, a continuación, agregue 2 de $\left\{0,0,1,1,1,1,\dots\right\}$, a continuación, añadir 2 más de $\left\{0,0,0,0,1,1,1,1,\dots\right\}$ y seguir haciendo eso. esto nos da la función

$$\frac{1}{1-x}+\frac{2x^2}{1-x}+\frac{2x^4}{1-x}+...$$ or $$\frac{1}{1-x}+\frac{2x^{2k}}{1-x}$$ however $i$ do not know where to go from here, how do $i$ finalizar este problema?

Answer 1

Usted ya hizo la parte difícil... probablemente significa $$\frac1{1-x}+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x^{2k}}{1-x}$$

Tan sólo tienes que evaluar la serie geométrica $$\sum_{k=1}^\infty (x^2)^k = \frac1{1-x^2} - 1 = \frac{x^2}{1-x^2}$$

Y obtener

$$\frac1{1-x} + \frac2{1-x}\sum_{k=1}^\infty x^{2k} = \frac{1+\frac{2x^2}{1-x^2}}{1-x} = \frac{x^2+1}{(1-x)(1-x^2)}$$

Answer 2

Aquí es otro enfoque.

La generación de la función escribe $(1+x)(1+3x^2 + 5x^4 + 7x^6 + 9x^8 + \dots)$ donde el segundo término aparece como la derivada de la $x+x^3 + x^5 + x^7 + x^9 + \dots$

El que después de ser el raro de parte de $1+x+x^2 + x^3 + x^4 + \dots$, tenemos: $$ x + x^3 + x^5 + x^7 + x^9 + \dots = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}\right) $$

Por lo tanto: $$ 1 + 3x^2 + 5x^4 + 7x^6 + 9 x^8 + \dots = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\right) $$

Por fin: $$ \frac{1+x}{2}\left(\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\right) = \frac{x^2+1}{(x-1)^2(1+x)} $$