Cómo probar $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}n=\frac{\pi-1}{2}$

Question

Uno de mis compañeros me retó a resolver $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}n=\;?$

Con un simple programa en c encontré que $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{1048576}\frac{\sin n}n\approx1.070796$ . Más tarde encontré $\displaystyle1.070796\approx\frac{\pi-1}{2}$ . Mi compañero me dijo que había acertado, pero me pidió que lo probara, y me dio una pista que $\displaystyle e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ Aunque no veo la relación entre la pregunta y la pista.

Entonces, ¿cómo probar $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}n=\frac{\pi-1}{2}$ ?

Answer 1

Aproveche el siguiente hecho: Para $\vert z \vert \leq 1$ y $z \neq 1$ tenemos $$\log(1-z) = - \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{z^k}k$$ Tome $z=e^i$ y mira la parte imaginaria.

Por lo tanto, tenemos $$\log(1-e^i) = - \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{e^{ik}}k \implies \text{Imag}(\log(1-e^i)) = \text{Imag}\left(- \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{e^{ik}}k \right)$$ que nos da $$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin(k)}k = - \text{Imag}(\log(1-e^i))$$ $$\log(1-e^i) = \log \left(2\sin^2(1/2) - 2i \sin(1/2) \cos(1/2)\right) = \log(2\sin(1/2)e^{-i \pi/2}e^{i/2})$$ Por lo tanto, $$\text{Imag}(\log(1-e^i)) = \dfrac{1-\pi}2$$ que nos da $$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin(k)}k = \dfrac{\pi-1}2$$