Ineqaulity acerca de una función convexa. $(e^x-1)\cdot \ln(x+1) >x^2$ $(x \gt 0)$?

Question

¿Cómo puedo resolver esta desigualdad $(e^x-1)\cdot \ln(x+1) >x^2$ ($x > 0$)?

Answer 1

Set $f(x)=e^x-1$, e $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$. A continuación, $f$ $g$ son diferenciables en a $(0,\infty)$, y $$g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}.$$ But, $xf'(x)-f(x)>0$ for $x>0$: $$(xf'(x)-f(x))'=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>0\Rightarrow$$$$xf'(x)-f(x)>0\cdot f(0)-f(0)=0,$$ therefore $g'(x)>0$ and $g$ is increasing. Now, since $x>\ln(x+1)$ for $x>0$, you have that $$g(\ln(x+1))<g(x)\Rightarrow \frac{f(\ln(x+1))}{\ln(x+1)}<\frac{f(x)}{x}\Rightarrow \frac{x}{\ln(x+1)}<\frac{e^x-1}{x},$$ que es la desigualdad que desee.

Answer 2

Desde $e^x-1 \gt0,$ vamos a probar lo siguiente : $$\ln(x+1)-\frac{x^2}{e^x-1}\gt0.$$ Dejando $f(x)$ ser el lado izquierdo, tenemos $$f^\prime(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{2x(e^x-1)-x^2\cdot e^x}{(e^x-1)^2}=\frac{g(x)}{(x+1)(e^x-1)^2}$$ donde $g(x)=e^{2x}+(x^3-x^2-2x-2)e^x+2x^2+2x+1.$

Ahora $$g^\prime(x)=2e^{2x}+(3x^2-2x-2)e^x+(x^3-x^2-2x-2)e^x+4x+2$$ $$=2e^{2x}+(x^3+2x^2-4x-4)e^x+4x+2$$ $$\gt 2(x+1)^2+(x^3+2x^2-4x-4)(x+1)+4x+2\gt0.$$ Aquí, he utilizado $e^x\gt x+1$. Usted sabrá la última desigualdad se cumple con algunos de cálculo.

Por lo tanto, ahora sabemos $g(x)$ es estrictamente monótona creciente de la función. También, tenemos $g(0)=0$. Por lo tanto, sabemos $g(x)\gt0.$

Por lo tanto, ahora sabemos que el $f^\prime(x)\gt0.$ Así, sabemos $f(x)$ es estrictamente monótona creciente de la función. Además, hemos $$\lim_{x\to 0+}f(x)=\lim_{x\to 0+}\frac{x^2}{e^x-1}=\lim_{x\to 0+}\frac{2x}{e^x}=0.$$ Así que, ahora sabemos, $f(x)\gt0.$ Q. E. D.