Encontrar una expresión explícita para un minimizer

Question

Supongamos $f$ es una función continua en el intervalo (0,1). Consideramos que la energía funcional

$F(u) = \int^1_0\frac{1}{2}((u')^2+u^2)\,dx - \int^1_0fu\,dx$

que está bien definida de forma continua para funciones diferenciables $u$$(0,1)$. Suppouse que $u_0$ es un local minimizer de $F$ en la clase de $C^1$ funciones de satisfacciones $u(0)=a, u(1)=b$ fijos $a,b \in \mathbb{R}$.

Esta pregunta consta de un par de piezas, pero estoy atascado en uno en particular,

Supongamos que $a=1,b=e^2,f(x)=-3e^{2x}$. Encontrar una expresión explícita para $u_0$.

He encontrado el de Euler-Lagrange las ecuaciones, $(u_0 -f)-\frac{d}{dx} (u_0'') (u_0') = 0$ pero no estoy claro en cuanto a cómo resolver la cuestión enunciada uso de este.

Cualquier ayuda se agradece,

Gracias

Answer 1

De Euler-Lagrange las ecuaciones son ecuaciones diferenciales, ya que usted sabe que todos los términos involucrados en la expresión y de las condiciones de contorno en $u$ este es un sencillo cálculo. Hay un montón de programas que va a resolver un diffie para usted de forma simbólica o numérica, o si te sientes perversa usted puede conseguir un libro de Odas.