He estado trabajando en este problema de Arthur Engel estrategias de resolución de problemas y necesito un poco de ayuda aquí.
Aquí está la pregunta. $2n$ objetos de cada una de las $3$ clases se dan a dos personas de tal manera que cada persona se $3n$ objetos. Demostrar que esto se puede hacer en $3n^2 + 3n + 1$ maneras.
Necesito ayuda con dos cosas. 1. Para ordenar mi enfoque. 2. En la comprensión de los iluminados enfoque del libro.
Aquí está mi enfoque.
Me di cuenta de que este problema puede ser refundición a preguntar, ¿de cuántas maneras distintas puede tres números se suman para dar una suma de $3n$ con esta restricción.
$$a + b + c = 3n$$ $$ 0 \leq a, b, c \leq 2n$$
También me di cuenta de que cada camino nos dan estos objetos ne persona, sólo hay una forma correspondiente a darle a la otra persona. Así, para contar el número de maneras en que la distribución se puede hacer, es suficiente para contar el número de maneras en que una persona se da a los objetos. Aquí, es lo que he hecho.
Me fije el valor de $a$, y, a continuación, varían $b $$c $.
$$ \begin{align} 0 &&+ n &&+ 2n \\ 0 &&+ n+1&& + 2n-1 \\ \vdots \\ 0 && + n + n && + 2n -n \end{align} $$
El $0$ puede ser colocado en cualquier cuadro. Por lo que el número total de posibilidades es $3\times(n+1)$.
$$ \begin{align} 1 &&+ n -1&&+ 2n \\ 1 &&+ n&& + 2n-1 \\ \vdots \\ 1 && + n + n && + 2n -(n+1) \end{align} $$
Del mismo modo, el número total de maneras en que esto puede hacerse es $3\times(n+2)$.
$\vdots$
$$ \begin{align} n-1 &&+ 1 &&+ 2n \\ n-1&&+ 2&& + 2n-1\\ \vdots \\ n-1 && + 2n&& + 2n - (2n-1) \end{align} $$
El número total de maneras en que se $3\times(2n)$.
Después de esto nos detenemos porque si $a = n $, uno de los otros dos se convierten en $0$ e esta posibilidad ya está contado.
Por lo que el número total de maneras en que se...
$$3( n + 1 + n + 2 + \dots + n + n)$ $ , que no es necesario responder.
Enfoque creativo :
Yo no entendía el enfoque creativo. Esto hizo que el iluminado de la observación de que $3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 - n^3$. Una persona se $x+y+z = 3n$ objetos con $0 \leq x, y, z \leq 2n$. Estos son triangulares coordina con la altitud $3n$. $x, y, z$ puede ser interpretado como entramado de puntos. El hexágono en la figura se puede interpretar como la proyección de el cubo con arista $n+1$ a partir de la cual un cubo de arista $n$ se resta.
No entiendo esto. Lo hexágono? ¿Cómo es un triángulo? No estoy muy familiarizado con entramado de puntos.
